Construction of optimal quadrature formula for the Fourier coefcients

3. Таърифлар ва ёрдамчи натижалар
Ушбу бўлимда биз асосий натижаларни исботлаш учун зарур бўлган баъзи таърифлар ва маълум натижаларни берамиз.
Қуйида биз асосан дискрет аргументлар ва улар бўйича операциялар билан функциялар тушунчасидан фойдаланамиз. Дискрет аргумент функциялари назарияси [23, 24] да келтирилган. Биз дискрет аргумент функцияларининг баъзи таърифларини берамиз.
1-таъриф. дискрет аргументли функция дейилади, агарда бутун сон бўлса
2-таъриф. 2та ва функцияларнинг сверткаси қуйидаги тенглик билан аниқланади

Эйлер – Фробенус кўпҳади [24]

.
Эйлер-Фробениус кўпҳадлари учун қуйидаги тенглик бажарилади
(17)

Ҳисоб-китобларимизда бизга қуйидаги тенгликни қаноатлантирадиган дифференциал операторининг дискрет аналоги керак, бу тенглик қуйидагича

(18)

бу ерда (12) тенглик билан аниқланган

тенгликдаги

яъни Диракнинг делта функцияси.
дифферециал операторининг нинг дискрет аналоги [17] адабиётда қурилган ва қуйида исботланган.
Теорема 2. дифферентциал операторининг дискрет аналоги ушбу кўринишда
(19)

бу ерда

- 3-даражали Эйлер-Фробенус кўпҳади, еса Эйлер-Фробенус кўпҳади илдизи, , эса кичик мусбат параметер. дискрет аргументли функциянинг хоссаларидан исботланган. Бу ерда биз ҳисоблашда керак бўлган дискрет аргументли функциянинг қуйидаги хоссаларини келтирамиз

(16) функциядан ва лар бўйича биринчи тартибли хусусий ҳосилалар олиб қуйидаги системага келамиз:


(20)
(21)
(22)
системанинг мавжудлиги ва ягоналиги [17] да келтирилган.
бу ерда
(23)
яъни,

Интегрални тўғридан-тўғри ҳисоблаб қуйидагини оламиз:
(24)