Construction of optimal quadrature formula for the Fourier coefcients

Construction of optimal quadrature formula for the Fourier coefcients
¹Қурбонназаров А.И.
¹В. И. Романовский номидаги Математика институти, 100174 Университет кўчаси 4б уй.

As we know, many issues of Science and technology have been given to calculate singular or exact integrals. Basically, these integrals are calculated using approximate quadratic and cubatur formulas. In recent years, the theory of optimal formulas of a definite integral has been developing in algebraic or trigonometric functions. In this regard, an optimal quadrature formula has recently been constructed that is exact on hyperbolic sinus and hyperbolic cosinus in one Hilbert space. Explicit expressions for optimal coefficients are found there. And the present work is a direct continuation of that work and is devoted to estimating the error of the constructed optimal quadrature formula. And the present work is a direct continuation of that work and is devoted to estimating the error of the constructed optimal quadrature formula and numerical results.

1. Кириш. Масаланинг қўйилиши.
Ушбу мақолада [1] нинг давоми сифатида ҳолда биз самарали сонли натижаларни олмоқчимиз.

бунда -функция кучли тебранувчи, - параметер эса тебраниш тезлиги. Амалиётда биз интегралларни тебранмайдиган функция ва тебранувчи ядрога кўпайтмасига ажратамиз. Қўлланишда ядро кўпинча тебранмайдиган функция, вазн функцияси билан бирга қуйидагича ифодаланади:

Бундан ташқари, энг муҳими, квадраур формулалар дифферентсиал ва интеграл тенгламаларни сонли ечиш учун асосий ва муҳим воситани тақдим этамиз.
Квадратур формулалар назариясида интегралларни интегралнинг чекли сонли қийматлари ёрдамида тақрибий ҳисоблаш учун турли хил усуллар мавжуд. Ушбу ишда сонли ҳисоблаш усулларидан бири муҳокама қилинади ва ҳисоблаб чиқилади муайян интегралларни тақрибий ҳисоблаш учун битта оптимал квадратур формуланинг хатолини баҳолаш. Шу муносабат билан бизга [1]дан маълум қуйидаги квадратур формулани кўриб чиқамиз
(1)
хатолик функционали
(2)
бунда - (1) формуланинг коэффициентлари, , кесманинг характеристик функцияси, Диракнинг дельта-функцияси.
функциялар фазосига тегишли бўлиб, ушбу фазо қуйидагича аниқланади

ва фазонинг ва функциялари учун скаляр кўпайтма эса қуйидагича киритилган
(3)
Шунингдек фазода (3) скаляр кўпайтмага мос норма эса қуйидагича аниқланган

ва

коэффициент ва га боғлиқ, яъни .
Интеграл ва квадратур йиғинди орасидаги фарқ
(4)
(1) квадратур формуланинг хатолиги дейилади.
(1) квадратур формуланинг хатолиги да чизиқли функционал бўлиб, бу ерда фазо, фазога қўшма фазо.
Коши-Швартц тенгсизлигига кўра бизда

Шунинг учун (4) формуланинг хатоси (1) норма билан баҳоланади

Шундай қилиб, (1) квадратур формуланинг хатолигини баҳолаш учун фазо функциялари бўйича қўшма фазода хатолик функционали нормасини топпишдан иборат.
Аниқланишича, хатолик функционалининг нормаси коэффициентларга боғлиқ. коэффициентлар бўйича хатолик функционали нормасининг минимумини топиш масаласи. Ушбу масала Сард масаласи деб аталади. Олинган формула эса Сард маъносида оптимал квадратур формула дейилади.
Бу методлар сплайн усули, -функция методи(қаранг, масалан. [3] ва Соболев усули. Эътибор беринг, Соболев усули чизиқли узлуксиз дифференциал операторнинг дискрет аналогни қуришга асосланган (масалан, қаранг. [12-14]) каби Сард маъносида оптимал квадратура формулаларини тузишнинг бир неча усуллари мавжуд. Ушбу усулларга асосланган турли соҳаларда Сард масаласи кўплаб муаллифлар томонидан ўрганилган(мисол учун [3–9, 11–16] адабиётларга қаранг).
Ушбу мақоланинг асосий мақсади (1) квадратур формулалари учун фазода Сард масаласини Соболев усули ёрдамида ҳал қилишдир, бу ерда , яъни
(5)
Шунинг учун фазода (1) формуланинг Сард оптимал квадратур формуласини қуриш учун қуйидаги масалаларни ечишимиз керак.