Construction of optimal quadrature formula for the Fourier coefcients

1-масала. (1) квадратур формуланинг (4) хатолик функционали нормасини ҳисоблаш.
(4) тенгликдан кўриниб турибдики, хатолик функционали нормаси , коэффициентларга боғлиқ. фазода Сард маъносида оптимал квадратур формула қуриш учун қуйидаги масалани ечиш керак бўлади.
2-масала. фазода (5) ни қаноатлантирувчи коеффициентлар коэффициентларни топиш.
Натижада биз 1 ва 2 масалаларни ҳал қиламиз .

2. экстремал функция ва хатолик функционали нормаси (2).
1-масалани ҳал қилиш учун, яъни фазода (2) функционал хатолик нормаси учун аниқ ифодани олиш, экстремал функциядан фойдаланамиз. функция функционал учун экстремал функция дейилади, агар қуйидаги тенглик мавжуд бўлса
(6)
гильберт фазоси бўлгани, бу фазода экстремал функция, гильберт фазосида Рисс теоремасидаги узлуксиз чизиқли функционалнинг хоссасига кўра берилган умумий кўриниши топилади. функционал учун ва ҳар бир , функция учун қуйидаги тенглама ўринли
(7)
бу ерда
(8)
фазода аниқланган.
(7) дан (8) ни ҳисобга олган ҳолда экстремал функция учун қуйидаги чегаравий масалани оламиз
(9)
(10)

(9), (10) чегаравий масалани ечими [17 Аҳмадалиев] да берилган қуйидагича амалга оширилади

Теорема 1. (9) - (10) чегаравий масаланинг ечими хатолик функционалнинг экстремал функциясининг шаклга эга.
(11)

бунда
(12)

Энди 1-теоремадан фойдаланиб хатолик функционали нормасининг квадрати (2) ни ифодалашни оламиз.
Рисс теоремасига асосланиб, тенгликдан фойдаланиб, (2) хатолик функционал нормасини ҳисоблаймиз.
У ҳолда

Bu yerda bizda
(13)
хатолик функционали фазода аниқланганлиги сабабли, у қуйидаги шартларни қаноатлантириши керак
(14)
(15)
хатолик функционали нормаси квадрати, яъни (13) даги ифода коэффициентларга нисбатан кўп ўзгарувчили функция. Кейинги навбатда (13), (14) шартларни қаноатлантирувчи ифоданинг экстремумини топамиз.
Эслатиб ўтамиз хатолик функционали экстремал функцияси ва фундаментал ечим (11), (12) ларда берилган.
Лагранжнинг номаълум кўпайтувчилар усулидан фойдаланиб (14), (15) шартлар асосида (13) ифоданинг минимумини топамиз. Қуйидаги функцияни қарймиз:

Бу ерда (13) тенглик билан аниқланади. (13) ва (14) тенгликларнинг чап қисми учун қуйидаги ифодаларни оламиз:


У ҳолда Лагранж функцияси қуйидаги кўринишни олади
(16)