Davlat universiteti қозон миллий тадқИҚотлар технология университети

Ko‘plab korrelyatsiya koeffitsiyenti bir o„zgaruvchining bir nechtasiga bog„liqlik darajasini aniqlaydi.

Korrelyatsiya koeffitsiyenti x va y o„rtasida bog„liqlikning bor yoki yo„qligini ko„rsatadi, lekin u funksiyaning ko„rinishini bermaydi. Korrelyatsion bog„liqlikni o„rganishda aloqa shaklini tavsiflash uchun yaqinlashgan regressiya tenglamasidan foydalaniladi.
Regression tahlil bog„liq bo„lgan kattalik y va bog„liq bo„lmagan x₁, ….. , x_i o„zgaruvchilar o„rtasidagi bog„liqlikni nazarda tutadi (qaraydi). Ushbu bog„liqlik matematik model yordamida beriladi, ya‟ni u bog„liq va bog„liq bo„lmagan o„zgaruvchilarni bog„laydi.
Regression tahlil asoslanadigan shart-sharoitlarni sanab o„tamiz:

1. 
   y₁, y₂, ..... , y_n ni kuzatish natijalari bog„liqmaslikni tashkil etadi, mo„‟tadil taksimlangan tasodifiy kattaliklar;
   
2. 
   chiqish x_i parametrlari y ning o„lchash xatosiga nisbatan juda kam xato bilan o„lchanadi;
   
3. 
   y chiqish parametrining tanlangan
   

dispersiyalari qiymatlari bir xil parallel tajribalarda olingan qiymatlari bilan bir xil bo„lishi kerak.
120
Tajriba natijalarini qayta ishlashda korrelyatsion va regression tahlil qo„llanilganda statistik matematik modelni regressiya tenglamasi ko„rinishida tuzish imkonini beradi.
Shunday qilib, korrelyatsion va regression tahlil usullari o„zaro chambarchas bog„langan.
Bog„liqlik shaklini harakterlash uchun regressiya tenglamalaridan foydalaniladi.
Masalaning qo„yilishi.
Berilgan tanlov hajmi n bo„yicha yaqinlashgan regressiya tenglamasini topish va bunda yo„l qo„yiladigan xatoni baholash. Ushbu masala korrelyatsion va regression tahlil usullarida hal etiladi.
̂ topilishi kerak.
Nuqtalarning zichligi bo„yicha ma‟lum bog„liqlikni topish, ya‟ni regressiya tenglamasi ko„rinishini mumkin. Agar no„qtalar juda tarqoq bo„lsa, u holda regressiya bo„lmaydi.
Regressiya tenglamasining ko„rinishi yaqinlashuv usulining tanlanishiga bog„liq.
Odatda qisqa kvadratlar usulidan foydalaniladi:

yoki
∑



∑ ̂

bunda ̂ – mos ravishda chiqish kattaliklarining tajribaviy va hisoblangan qiymatlari.
Passiv tajribalar natijalarini qayta ishlashda chiziqli va chiziqlimas empirik modellar olinadi, ular tajriba ma‟lumotlarning barcha to„plamini aniq tasvirlashi kerak. Bu holda asosiy qiyinchilik modeli ko„rinishini to„g„ri tanlash va modeli parametrlarini (tenglama koeffitsiyentlarini) aniqlashdan iborat.
Yaqinlashuv regressiyasining turli holatlarini ko„rib chiqamiz.
121

1. Bog„liq bo„lmagan bir o„zgaruvchili chiziqli regression model

Bir parametrdan chiziqli regressiya holatini qaraymiz.

Kimyoviy-texnologik jarayonlarni modellashtirishda ko„pgina holatlarda kirish (x) va chiqish (y) parametrlari o„rtasidagi o„zaro bog„liqlikni chiziqli tenglama bilan approksimirlash (ifodalash) mumkin:
̂
Matematik modelning ko„rinishini olish uchun regressiya tenglamasi va koeffitsiyentlarini aniqlash kerak. Buning uchun qisqa kvadratlar usuli (QKU) qo„llaniladi:
∑

Shunday qilib, regressiya koeffitsiyentlarini topish tartibi funksiya
minimumina aniqlash masalasiga olib keladi. Funksiya ekstremumining yetarli sharti izlanadigan kattaliklar (koeffitsiyentlar) bo„yicha funksiyadan olingan xususiy hosilaning nulga teng bo„lishidir.
∑

_{
∑

∑
{
∑


∑ ∑
{

∑ ∑ ∑


Tenglamalar sistemasini qisqa kvadratlar usulida yochamiz.
Natijada va koeffitsiyentlarni hisoblash formulasini olamiz:
122

_| ^{∑ ∑} _|

^{∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑}

<sup>∑

∑ ∑</sup>

^{|∑ ∑ |}

_| ^∑ _|
<sup>∑ ∑
∑


∑ ∑ ∑



∑ ∑</sup>

^{|∑ ∑ |}

(7.12) tenglama koeffitsiyentlari hisoblanganidan keyin olingan matematik modelning tadqiqiga kirishiladi. Bunday tadqiqga statistik (regression) tahlil deyiladi. Ushbu tahlilning ketma-ketligini qaraymiz.

2. Olingan natijalarning statistik tahlili

1. 
   Omillar o„rtasidagi o„zaro chiziqli bog„liqlikni baholash uchun (7.5) formula bo„yicha juftli korrelyatsiya koeffitsiyenti hisoblanadi. ning qiymati qancha 1 ga yaqin bo„lsa, chiziqli bog„liklikning ehtimoliyati shuncha yuqori bo„ladi. O„z-o„zidan berilgan oraliqda x va y o„rtasidagi bog„liqlik quyidagi ko„rinishda bo„ladi:
   

̂

2. 
   Dispersiyaning bir xilligini tekshirish:
   
   1. 
      parallel tajribalar (agar parallal natijalar bo„lsa) bo„yicha o„rtacha qiymat aniqlanadi:
      

bunda parallel tajribalar soni; tanlovdagi tajribalar soni.

2. 
   tanlangan dispersiya aniqlanadi:
   

3. 
   yig„uvchi dispersiya:
   

∑

4. 
   maksimal dispersiya tanlanadi, nisbat tuziladi:
   

123

бунда - tanlangan dispersiyaning maksimal qiymati.
Dispersiyaning bir xilligi Koxren me‟zoni (G) bo„yicha (bir xil miqdordagi tajribalarda) tekshiriladi.
Agar , u holda dispersiya bir xil, bunda q – bog„liqlik darajasi; f – erkinlik darajasi soni.
Erkinlik darajjalari soni: f₁=m-1; f₂ = N.

5. 
   
   dispersiya takrorlanishligini aniqlash:
   

Bir xil sondagi m tajribalar uchun erkinlik darajasi soni

3. 
   Styudent me‟oni bo„yicha polinom koeffitsiyentlarining ahamiyatliligi baholanadi (shatr – omillar o„rtasida korrelsiya bo„lmaganda):
   

^{| |}




bunda regressiya tenglamasining i – chi koeffitsiyenti; i – chi koeffitsiyent uchun o„rtacha kvadratik chetlanish.
Chiziqli polinom holati uchun va quyidagi formulalar
bo„yicha hisoblanadi:



_∑
<sup>√
∑ ∑



√
∑ ∑</sup>
Omillar soni ikkidan katta bo„lganda bunga o„xshash formulalar juda katta bo„lganligi uchun ishlatilmaydi.
Agar bo„lsa, u holda koeffitsiyent ahamiyatli bo„ladi (0 dan ahamiyatli farq qiladi). Teskari holatda esa ahamiyatsiz.
Modelning (olingan tenglamaning) adekvatlikka tekshirilishi
Fisher me‟zoni (F) bo„yicha amalga oshiriladi.
124
Agar regressiya tenglamasi bo„yicha tajriba natijalarini nisbatan hisoblangan chiqish kattaligi y ning qoldiq dispersiyasi tajriba xatosidan oshmasa, u holda regressiya tenglamasi tekshiriladigan jarayonni adekvat ifodalaydi deb hisoblanadi.
Agar quyidagi shart bajarilsa,

u holda model adekvat (ya‟ni regressiyaning chiziqli tenglamasi tekshiriladigan ob‟ektni adekvat ifodalaydi).

Bir xil sondagi parallel tajribalar uchun va qoldiq dispersiya uchun ifoda quyidagicha bo„ladi:
^∑ ̅ ̂

bunda ̅ parallel tajribalar natijalari bo„yicha chiqish parametrlarining o„rtacha qiymati (7.16); ̂ – chiqish parametrining o„rtacha qiymati.
Agar tajribani o„tkazishda tajribalar takrorlanmasa, u holda ifoda
quyidagicha bo„ladi:
^∑ ̂

bunda mos ravishda surat va maxrajning erkinlik darajasi; – polinomning aproksimlanadigan hadlari soni (erkin had qo„shilgan holda regressiya koeffitsiyentlari soni); – tajribalarning umumiy soni; – omillar soni (x₁, x₂, ….); y_i – chiqish parametrining tajribaviy qiymatlari.
Agar tajribani o„tkazishda parallel tajribalar qo„yishga imkoniyat

bo„lmasa, u holda modelni adekvatlikka tekshirish o„rniga tenglamaning approksimatsiyasi sifati baholanadi. Bunga qoldiq dispersiyani

nisbiy o„rtacha dispersiya bilan solishtirish orqarli erishiladi:
^∑ ̅

bunda – chiqish parametrining tajribaviy qiymati, ̅ ^∑

chiqish paramerining o„rtacha qiymati.

Fisher me‟oni bo„yicha:


125

Bu holatda F ning qiymati jadvaldagi qiymatdan qancha katta bo„lsa, regressiya tenglamasi tanlangan ahamiyatlilik darajasi q va erkinlik darajalari uchun shunchalik samarali.

Shunday qilib, Fisher me‟zoni olingan regressiya tenglamasiga
nisbatan sochilishning o„rtachaga nisbatan sochilish bilan solishtirish bo„yicha necha marta kamayishini ko„rsatadi.

3. Parabolik regression model

Kimyoviy-texnologik ob‟ektlarning statistik modellarini tuzishda ko„p hollarda chiziqli bo„lmagan tenglamalardan, jumladan, ikkinchi, uchinchi va yuqori darajali parabolalar tenglamalaridan foydalanishga to„g„ri keladi. Bunday hollarda ikkinchi tartibli (yoki yuqori tartibli) polinom ko„rinishdagi statistik modellarni tuish uchun regression anali usuli ko„llaniladi:

̂ ∑ ∑ ∑


Ushbu ̂ tenglama berilgan, lar aniqlanishi kerak.
Regressiya koeffitsiyentlari qisqa kvadratlar usulida aniqlanadi:
∑ ̂
∑( )

∑(



)

∑(
)

126

∑(


)

∑ ∑ ∑


∑ ∑ ∑ ∑


∑ ∑ ∑ ∑( )
{
Belgilashlar kiritamiz:
∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑( )


Belgilashlar hisobga olingandan keyin tenglamalar sistemasi quyidagi ko„rinishga keladi:

{

Noma‟lum koeffitsiyentlar quyidagi ifodalar bo„yicha topiladi:


^{| |}




| |




<sub>| |



| |</sub>




127

<sub>| |



| |</sub>


Tenglamalar sistemasini yechib, koeffitsiyentlar hisoblanadi.
Shunga o„xshash istalgan tartibdagi parabolaning koeffitsiyentlari topiladi. Tenglamani tekshirish xuddi chiiqli regressiyaga o„xshash statistik me‟zonlar bo„yicha amalga oshiriladi.
Regressiya tenglamasining adekvatligini tajribaga polinom darajasini oshirish orqali erishish mumkin. Lekin bunda barcha koeffitsiyentlar qaytadan hisoblanishi lozim (chunki koeffitsiyentlar o„rtasida korrelyatsiya mavjud).
Shunday qilib, tajribaviy ma‟lumotlar to„plashning passiv usullari ma‟lum afzalliklarga ega bo„lib, bunda ma‟lumotlar b‟ekt normal ishlaganida axborot to„plashdan iborat. Ushbu afzallik kimyoviy texnologiya ob‟ektlarini o„rganish uchun regression tahlilni keng joriy etishga yordam berdi. Biroq, passiv eksperiment asosida olingan modellar ko„p hollarda samarasiz bo„lib chiqadi.
Bunga sabab usulning o„zi emas, balki regression tahlilning asosiy shartlari bajarilmaganligi: omillarning katta xatoliklar bilan o„lchanganligi. Passiv tajribada, odatda, x ni o„lchashdagi xato mutanosib yoki y ni o„lchashdagi xatodan ham katta. Ba‟zan kirish parametrlarini o„lchash xatosi hatto omillarning o„zgarish oralig„idan ham oshadi.
Bundan tashqari, omillar (x_i) yoki koeffitsiyentlar b_i bir-biri bilan korrelyatsion aloqaga ega. Bu statistik tahlil va natijalarni izohlashni murakkablashtiradi.

Nazorat savollari

1. 
   Qanday hollarda statistik modellarni tuzishga murojaat qilinadi ?
   
2. 
   Statistik modellarni tuish uchun asos nima ?
   
3. 
   Statistik modellarning umumiy ko„rinishi qanday ?
   

128

4. 
   Statistik modellarni tuish uchun ishlatiladigan eksperimentlarning ikki turini keltiring.
   
5. 
   Passiv va faol eksperiment o„rtasidagi farq nima ?
   
6. 
   Korrelyatsion tahlil nima uchun o„tkailadi ?
   
7. 
   Korrelyatsion tahlilning asosiy harakteristikasi nimadan iborat ?
   
8. 
   Regression tahlilning mohiyati nimadan iborat ?
   
9. 
   Regressiya turlarini sanang, misollar keltiring.
   
10. 
    Regressiya tenglamasi koyeffitsiyentlarini baholash uchun ishlatiladigan usulning nomini ayting.
    
11. 
    Statistik (regression) tahlilning ketma-ketligi qanday ?
    

3. Faol tajribaga asoslangan statistik modellar

Passiv tajriba natijalarini qayta ishlash korrelyatsiya va regression tahlil usullari bilan amalga oshiriladi va bunda empirik model turini tanlash juda qiyin vazifadir. Chunki regressiya tenglamasining turi tajriba ma‟lumotlarning namunasidan olingan empirik regressiya chizig„ining grafigidagi o„zgaruvchilarning o„zgarishi bilan aniqlanishi kerak.

Passiv tajribaga asoslangan modellarning kamchiliklaridan xalos bo„lishga intilish faol tajribaning matematik nazariyasiga olib keldi.
Faol tajriba oldindan tuzilgan rejaga muvofiq o„tkailadi va matematik modelni tuzish uchun optimal algoritm bo„yicha qayta ishlanadi. Faol tajriba nazariyasining asosiy usullaridan biri tajribani statistik rejalashtirishdir.

1. Birinchi tartibli rejalar

   1.