Deduktiv xukm qilish qoidalari. Matematik isbotlashlar 1–§. Matematik xukm va uning turlari. Deduktiv xukm qilish sxemalari

I – BOB. DEDUKTIV XUKM QILISH QOIDALARI. MATEMATIK ISBOTLASHLAR
1–§ . MATEMATIK XUKM VA UNING TURLARI. DEDUKTIV XUKM QILISH SXEMALARI
_Bizni o‘rab turgan moddiy dunyo haqidagi bilimlarining katta qismini mulohaza yuritish asosida hosil qilamiz. To‘g‘ri mulohazalar yuritish asosida, ya’ni mantiq qoidalari va qonunlariga asoslanib hosil qilingan doimo chin bo‘ladi.
Mantiq fanida “mulohaza” termini o‘rniga ko‘p hollarda uning sinonimi bo’lgan “xukm” so‘zidan foydalaniladi.
Ta’rif. Xukm – tafakkur qilish formasi bo‘lib, unda asos deb nomlanuvchi bir yoki bir necha mulohazalardan yangi bilimni o‘zida saqlovchi hulosa keltirib chiqariladi.
Matematik ta’limni amalga oshirishda o‘quvchilar bajaradigan hukmlarga, misollar keltiramiz.
1-misol. O‘quvchidan nima uchun 320 soni 10 ga bo‘linishini tushuntirib berish talab etilsa, u quyidagicha hukm yuritadi: “Ixtiyoriy sonning yozuvi 0 bilan tugasa, bu son 10 ga bo‘linadi. 320 soni yozuvi 0 bilan tugaydi, demak 320 soni 10 ga bo‘linadi”. Bu xulosada birinchi va ikkinchi mulohazalar – asoslar bo‘lib, ulardan biri “Ixtiyoriy sonning yozuvi 0 bilan tugasa, bu son 10 ga bo‘linadi” – umumiy xarakterga ega bo‘ladi, ikkinchisi esa – xususiy bo‘lib, 320 – soni yozuvi 0 bilan tugashini xarakterlaydi. Xulosa esa “demak” so‘zidan keyin turuvchi “320 soni 10 ga bo‘linadi” jumla bo‘lib, - u ham xususiy xarakterga ega, chunki unda ham konkret 320 soni haqida so‘z yuritiladi.
2-misol. Qo‘shishning o‘rin almashtirish xossasi bilan tanishtirishda o‘quvchilar bir necha konkret misollarni ko‘rib:



_{hosil qilingan tengliklarga: ixtiyoriy a va b ratsional sonlar uchun tenglik o‘rinli bo‘lishi haqida xulosa chiqaradilar.}
Umuman har qanday hukmda asoslar va xulosa mavjud bo‘lib,ulardan biri umumiy harakterga ega bo‘lgan jumla bo‘lib, umumiy asos deb ataladi. Ikkinchi asos xususiy hollarni ifodalaydigan jumla bo‘lib, uni xususiy asos deb ataladi. Ikki asosdan yangi fikr keltirib chiqariladi va uni xulosa deb ataladi.
3-misol. Ushbu hukm berilgan: “Agar natural son 4 ga karrali bo‘lsa, u holda u 2 ga karrali bo‘ladi. 12 soni 4 ga karrali. Demak 12 soni 2 ga karrali”. Bu hukmda:
umumiy asos: “Agar natural son 4 ga karrali bo‘lsa, u holda u 2 ga karrali bo‘ladi”;
xususiy asos: “12 soni 4 ga karrali”;
xulosa: “12 soni 2 ga karrali” bo‘lib, berilgan hukmda asoslar ham, hulosa ham chindir.
4-misol. Ushbu hukm berilgan: “Agar natural son 4 ga karrali bo‘lsa, u holda u 2 ga karrali bo‘ladi. 126 soni 2 ga karrali. Demak 126 soni 4 ga karrali”. Bu mulohazada:
umumiy asos: “Agar natural son 4 ga karrali bo‘lsa, u holda u 2 ga karrali bo‘ladi”;
xususiy asos: “126 soni 2 ga karrali”;
xulosa: “126 soni 4 ga karrali” bo‘lib, berilgan mulohazada asoslar chin, xulosa esa yolg‘on – 126 soni 4 ga bo‘linmaydi.
Demak hukmlarda asoslarning chinligi xulosaning chinligini ta’minlashga kafolat bera olmaydi. Chin xulosa hosil qilish uchun yana nima muhim ekanligini aniqlaymiz.
_Yuqoridagi mulohazalarni taqqoslaymiz. Buning uchun dastlab ularni simvolik shaklda yozib olamiz. Agar A orqali “x natural son 4 ga karrali” jumlani, B orqali esa” x natural son 2 ga karrali” jumlani belgilasak, u holda ikkala misolda umumiy asos _{ko‘rinishga ega bo‘ladi; 1-misoldagi ikkinchi asos xususiy bo‘lib, u A jumlada x o‘rniga 12 ni qo‘yish bilan hosil qilinadi. Uni A (12) bilan belgilaymiz. U holda birinchi misolda xulosani B (12) bilan belgilash mumkin. Xuddi shu kabi ikkinchi misolda: ikkinchi asos xususiy bo‘lib, B (126) ko‘rinishga, xulosa esa- A (126) ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Kiritilgan belgilashlarga asosan ikkala misolda berilgan mulohazalarni bunday ko‘rinishda ifodalash mumkin:
1-misol 2-misol
I asos:
II asos: A(12) B(126)
Xulosa: B(12) A(126)
Birinchi} misolda hukm ( _{va A(12)}) _{B(12) sxema bo‘yicha, ikkinchi misolda esa: ( va sxema bo‘yicha o‘tkazildi. Ko‘rinib turibdiki, hukmlar sxemalari turlicha. Birinchi xolda foydalanilgan sxema chin xulosaga, ikkinchi holda foydalanilgan sxema yolg‘on xulosaga olib keldi. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan misollar asoslarning chinligi har doim ham xulosaning chin bo‘lishiga kafolat bera olmasligini tasdiqlaydi. 1- va 3- misollarda xulosa asoslardan mantiqiy kelib chiqadi, shuning uchun uning chinligiga shak-shubha bo‘lmaydi. Bunday hukmlarni mantiq fanida deduktiv xukmlar deb ataladi.
Ta’rif. Agar hukmda asoslar va xulosa kelib chiqishlilik munosabatida bo‘lsa, uni deduktiv hukm deyiladi.
Agar deduktiv hukmda asoslarni A1, A2,…,An harflari bilan, xulosani B harfi bilan belgilasak, hukmni quyidagicha ifodalash mumkin: A1, A2,…, . Ko‘p hollarda quyidagi ko‘rinishdagi yozuvdan ham foydalaniladi: bunda chiziq “demak” so‘zini o‘rniga qo‘llaniladi.
Asoslarning chinligidan chin xulosa hosil qilish uchun deduktiv hukm qilish sxemalari (keltirib chiqarish qoidalari)dan foydalanish zarurdir. Bunda har bir deduktiv hukmning asosida keltirib chiqarishning ma’lum qoidasi yotadi.
Yuqoridagi ta’rifga muvofiq shartlar va xulosa mantiqiy kelib chiqishlilik munosabatida bo‘ladi. Demak deduktiv xulosa qilish natijasida chin shartlardan doimo chin xulosalar keltirib chiqariladi.
Mantiq fanida hukm chiqarilgan hukmning to‘g‘ri ekanligi uning formasi bilan aniqlanadi va uning tarkibiga kiruvchi tasdiqlarning konkret mazmuniga bog‘liq bo‘lmaydi deb hisoblanib, shunday qoidalar ko‘rsatiladiki, ularga rioya qilish asosida deduktiv hukmlar quriladi. Bu qoidalarni keltirib chiqarish yoki deduktiv (to‘g‘ri) hukm qilish sxemalari deb nomlanadi. Bu qoidalar ko‘p sonda bo‘lib, matematik ta’limni amalga oshirishda quyidagilari keng qo‘llaniladi:}
1. Xulosa qoidasi:
_2. Inkor qoidasi: _.
3. Sillogizm qoidasi:
_{Bu qoidalarni qo‘llash hukmning deduktiv bo‘lishiga kafolat beradi, ya’ni chin asoslardan doimo chin xulosalar keltirib chiqariladi.
Bu} qoidalarda qo‘llanilgan belgilarni ko‘raylik. Xulosa qoidasida ikkita _{va asos ifodalangan bo‘lib, ulardan birinchisi umumiy asos deb nomlanib, u teorema, ta’rif va umuman ko‘rinishdagi matematik jumla bo‘lishi mumkin. Ikkinchi asos xususiy deb nomlanadi va u shartdan da hosil qilinadi. jumla –xulosa bo‘lib, u dan da hosil qilinadi. Asoslar xulosadan “demak” so‘zini o‘rnini bosuvchi chiziq orqali ajratilgan.
Xulosa qoidasini qo‘llab hukm chiqarishga misol keltiramiz: “Agar sonining yozuvi 5 raqami bilan tugasa, u holda soni 5 ga bo‘linadi. 1235 sonining yozuvi 5 raqami bilan tugaydi. Demak 1235 soni 5 ga bo‘linadi”. Bu xulosada agar bilan: “x sonning yozuvi 5 raqami bilan tugaydi” jumlasini, bilan: “x – soni 5 ga bo‘linadi” jumlasini belgilasak umumiy asos sifatida “agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi” ko‘rinishdagi tasdiq ifodalanmoqda.} Xususiy asos – umumiy asos shartidan x = 1235 da hosil bo‘lgan mulohazani (ya’ni )ifodalaydi. Xulosa esa _dan x = 1235 da hosil bo‘lgan mulohazadan (ya’ni ) iborat bo‘ladi.
Inkor qoidasi asosida bajarilgan hukm chiqarishga misol keltiramiz: “Agar x sonning yozuvi 5 raqami bilan tugasa, u holda x – soni 5 ga bo‘linadi: 213 soni 5 ga bo‘linmaydi. Demak uning yozuvi 5 raqami bilan tugamaydi”.
Bu xolda ham umumiy asos xuddi yuqorida ko‘rilgan misoldagi kabi bo‘ladi, xususiy asos esa “213 soni 5 ga bo‘linadi” mulohaza inkoridan (ya’ni )dan iborat bo‘lib, xulosa esa – “213 soni yozuvi 5 raqami bilan tugamaydi” mulohaza inkoridan (ya’ni ) iborat bo‘ladi.
Sillogizm qoidasiga asosida bajarilgan hukm chiqarishga misol keltiramiz: “Agar x soni 12 ga karrali bo‘lsa, u holda 6 ga karrali bo‘ladi. Agar x soni 6 ga karrali bo‘lsa, u holda 3 ga karrali bo‘ladi”. Demak “agar x soni 12 ga karrali bo‘lsa, u holda 3 ga karrali bo‘ladi”.
_Bu hukmda _{bilan: “x soni 12 ga karrali” jumlasini, bilan: “x soni 6 ga karrali” jumlasini, bila: “x soni 3 ga karrali” jumlasini belgilasak, ikkita “agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi” va “agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi” ko‘rinishdagi asoslarni hosil qilamiz. Xulosa esa “agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi” mulohazani ifodalaydi.
Mantiq fanida} hukm _{to‘g‘ri chiqarilganligini tekshirishning turli usullari mavjud. Ulardan biri Eyler – Venn doiralaridan foydalanib tekshirishdir. Buning uchun dastlab, berilgan hukm to’plamlar nazariyasi tilida, asoslar esa Eyler – Venn doiralari bilan ifodalanadi. So‘ngra esa, berilgan asoslarda xulosa doimo chin bo‘lishi yoki yo‘qligi aniqlanadi. Agar doimo chin bo‘lsa, u holda berilgan} hukm <sub>to‘g‘ri, deduktiv deyiladi. Agar chizmadagi tasvirdan hukm yolg‘on bo‘lishi ko‘rinib tursa, u holda bu sxema yordamida keltirib chiqarilgan ixtiyoriy hukm deduktiv emas deyiladi.
X ulosa qoidasi asosida keltirib chiqarilgan hukm deduktiv bo‘lishini Eyler – Venn doiralaridan foydalanib ko‘rsatamiz.
asos ko‘rinishda yozilishi mumkin, bu yerda va lar va predikatlar chinlik to‘plamidir. Xususiy asos a nuqta to‘plamga tegishli ekanligi, ya’ni ekanligini; xulosa esa a nuqta to‘plamga tegishli ekanligini, ya’ni ni ifodalaydi.
U holda to‘plamlar nazariyasi tilida xulosa qoidasi asosida qurilgan barcha hukmlar quyidagicha yoziladi:
va to‘plamlarni Eyler – Venn doiralari bilan ifodalab, elementni belgilab, ekanligini ko‘ramiz, ya’ni .
Inkor qoidasi asosida keltirib chiqarilgan hukm deduktiv bo‘lishini Eyler –Venn doiralaridan foydalanib ko‘rsatamiz.
Bu holda ham asos ko‘rinishda yozilishi mumkin. Xususiy asos , a nuqta to‘plamga tegishli emas, ya’ni ekanligini; - xulosa esa a nuqta - to‘plamga tegishli emas, ya’ni ekanligini ifodalaydi. U holda to‘plamlar nazariyasi tilida inkor qoidasi asosida qurilgan barcha hukmlar quyidagicha yoziladi:
to‘plamlarni Eyler-Venn doiralari bilan ifodalab, elementni belgilab, ekanligini ko‘ramiz, ya’ni
Sillogizm qoidasi asosida keltirib chiqarilgan hukm deduktiv bo‘lishini Eyler-Venn doiralaridan foydalanib ko‘rsatamiz.
B u holda ikkita va asoslarni va ko‘rinishda yozish mumkin. Xususiy asos ni ko‘rinishda yozish mumkin.
U holda to‘plamlar nazariyasi tilida sillogizm qoidasi asosida qurilgan barcha hukmlar quyidagicha yoziladi:
, , va to‘plamlarni Eyler-Venn doiralari bilan ifodalab ekanligini ko‘ramiz.
5 – misol. Quyidagi xulosa, to‘g‘ri bajarilganligi yoki yo‘qligini aniqlaymiz. “Sonning yozuvi 5 raqami bilan tugasa, u holda son 5 ga bo‘linada. 125 soni 5 ga bo‘linadi. Demak 125 sonning yozuvi 5 bilan tugaydi”.
Yechish. Bu hukm sxema asosida bajarilgan bo‘lib, uni umumiy ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin.
L ekin biz yuqorida ko‘rib o‘tgan sxemalar ichida bunday sxema yo‘q. Shuning uchun uni deduktiv hukm qilish qoidasi bo‘lishi yoki yo‘qligini aniqlaymiz. Buning uchun Eyler-Venn doiralaridan foydalanamiz. To‘plamlar nazariyasi tilida hosil qilingan qoidani quyidagicha yozish mumkin:
va to‘plamlarni Eyler – Venn doiralari bilan ifodalab, to‘plamga tegishli a elementni belgilaymiz. Bu element to‘plamga tegishli emas, shuningdek to‘plamda saqlanishi ham mumkinligini aniqlaymiz.
Mantiq fanida bunday sxema deduktiv hukm qilish qoidasi emas deb hisoblanadi, chunki u asoslar chin bo‘lganda xulosaning ham doimo chin bo‘lishiga kafolat bermaydi. Demak keltirib chiqarilgan hukm to‘g‘ri emasdir, chunki u hukmni chinligiga kafolat bermaydigan sxema asosida bajarilgan.
6-misol. Quyidagi hukm to‘g‘ri bajarilanligi yoki yo‘qligini aniqlaymiz. “Agar sonning yozuvi 0 bilan tugasa, u holda son 5 ga bo‘linadi. 173 soni yozuvi 0 bilan tugamaydi. Demak 173 soni 5 ga bo‘linmaydi”.
Yechish. Bu hukm sxema asosida bajarilgan bo‘lib, uni umumiy ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin.
L ekin biz yuqorida ko‘rib o‘tgan sxemalar ichida bunday sxema ham yo‘q. Shuning uchun bu holda ham uni deduktiv hukm qilish qoidasi bo‘lishi yoki yo‘qligini aniqlaymiz. To‘plamlar nazariyasi tilida hosil qilingan qoidani quyidagicha yozish mumkin:

a
va to‘plamlarni Eyler – Venn doiralari bilan ifodalab, to‘plamga tegishli bo‘lmagan a elementni belgilaymiz.
Bu element to‘plamda saqlanishi ham mumkin va unga tegishli bo‘lmasligi ham mumkinligini aniqlaymiz.
Mantiq fanida bunday sxema deduktiv hukm qilish qoidasi emas deb hisoblanadi, chunki u asoslar chin bo‘lganda xulosaning ham doimo chin bo‘lishiga kafolat bermaydi. Demak keltirib chiqarilgan hukm to‘g‘ri emasdir, chunki u xulosani chinligiga kafolat bermaydigan sxema asosida bajarilgan.
Ikkala misolni taxlil qilish natijasida quyidagi natijani keltirib chiqarish mumkin: hukm qilishning deduktiv ekanligi bilan (to‘g‘riligi bilan) hosil qilingan natijaning chinligini aynan bir xil deb hisoblash mumkin emas: hosil qilingan natija chin bo‘lishi mumkin, lekin hukm qoidasi deduktiv emas bo‘lishi mumkin.
Demak keltirib chiqarilgan xulosa chin ekanligini o‘rnatishning ikkita yo‘li bor ekanligini ko‘rib o‘tdik. Birinchi yo‘l xulosa keltirib chiqarish qoidalari asosida bajarilganligini ko‘rsatish bo‘lsa, ikkinchisi esa berilgan mulohazani to‘plamlar nazariyasi tilida ifodalab, so‘ngra yuqorida ko‘rib o‘tilgan Eyler-Venn doiralaridan foydalanishidir.
Ko‘p hollarda o‘quvchilar xulosa qoidasi bilan , unga shaklan o‘xshash lekin deduktiv bo‘lmagan qoidani shuningdek inkor qoidasi bilan quydagi deduktiv bo’lmagan qoidani</sub> almashtirib qo‘yadilar.
_{Shuning uchun o‘quvchilarga deduktiv bo‘lmagan bu qoidalarni eslab qolishi va ularni hukm qilish qoidasi bilan almashtirmasligi haqida ko‘rsatma berish kerak bo‘ladi. Chunki bu sxemalar hukmning chinligini kafolatlamaydi.}
Matematikada xulosalarning chin bo‘lishiga kafolat bera olmaydigan sxemalardan foydalanish, noto‘g‘ri natijalarga, yolg‘on xulosalarga olib kelishi mumkinligi azaldan ma’lum. Shuning uchun matematiklar ongli ravishda ko‘rinishdan to‘g‘ri bo‘lib, aslida noto‘g‘ri bo‘lgan hukmlarni atayin o‘ylab topa boshladilar. Bunday mulohazalar sofizmlar nomini oldi.
Sofizmlar tahlili o‘quvchilarda nafaqat to‘g‘ri hukm qilish ko‘nikmalarini shakllantiradi, shuningdek ular tomonidan ko‘pgina matematik faktlarni chuqurroq o‘zlashtirib olishga ham yordam beradi.
Sofizmga misol keltiramiz: 5 =1 ekanini isbotlaymiz.
5 va 1 sonlaridan ayni bir 3 sonini ayiramiz.5 – 3 =2, 1 – 3 = -2 ga ega bo‘lamiz. 2 va – 2 sonlarini kvadratga ko‘taramiz. Natijada teng sonlar hosil bo‘ladi: 2²=4, (-2)²=4. Demak, dastlabki 5 va 1 sonlari ham teng bo‘lishi kerak. Shunday qilib, 5 =1.
Keltirilgan hukmdagi xulosaning yolg‘onligi aniq. Biroq qaerda xatoga yo‘l qo‘yildi?
Bu hukmni tahlil qilib chiqamiz. U uch qadamdan iborat bo‘lib, ular qisqa ko‘rinishda berilgan. Biz har bir qadamning ikkala asosini tiklaymiz.

1. 
   – qadam (5 va 1 sonlaridan butun 3 sonini ayirish).
   

Umumiy asos: “Ixtiyoriy butun sonlar ayirmasi mavjud”;
Xususiy asos: “5, 1 va 3 butun sonlar”;
Xulosa: “5 - 3, 1-3 ayirmalar mavjud va 5-3=2, 1-3=-2”.
Xulosa qoidasi asosida hukm yuritganimiz uchun biz chin asoslardan chin xulosaga ega bo‘ldik. Shuning uchun bu qadamda xato yo‘q.