Deduktiv xukm qilish qoidalari. Matematik isbotlashlar 1–§. Matematik xukm va uning turlari. Deduktiv xukm qilish sxemalari

2. Analogiya. _{Matematik ta’limni amalga oshirishda analogiya bo‘yicha xulosa chiqarishdan ham keng foydalaniladi, bunda bilimlarni o‘rganilgan ob’ektlardan nisbatan kam o‘rganilgan ob’ektlarga ko‘chirish amalga oshiriladi. Ko‘chirish uchun bu ob’ektlarning o‘xshashlik va farq qilish alomatlari haqidagi bilimlar asos bo‘lib xizmat qiladi.} Analogiya yordamida predmet va ob’ektlarning o`xshashligi yangi xossaga yoyiladi.
<sub>Ta’rif: Anologiya deb shunday xulosa chiqarish shakliga aytiladiki, unda ikkita ob’ektning bir necha belgilari o‘xshashligi va ulardan birida qo‘shimcha belgini mavjudligidan, ikkinchi ob’ekt ham xuddi shu belgiga ega deb xulosa chiqariladi.
Analogiya bo’yicha xulosa chiqarish quyidagi umumiy sxema</sub> asosida olib boriladi:
Agar, A: a,b,c,d xossalarga ega bo’lib,
B: a,b,c xossalarga ega bo’lsa,
u holda B: d xossaga ham ega bo`lishi mumkin.
Bundan ko`rinadiki, taqqoslash analogiyani qo’llash uchun asos yaratadi va analogiya esa yangi bilimlarni kashf etishga yordam beradi. Analogiya bo’yicha xulosa chiqarish taxmin (gipoteza) xarakterida bo’lgani uchun uni isbot deb qabul qilib bo`lmaydi.Analogiya yordamida nimani va qanday isbotlash yo’li aniqlanadi, ya'ni matematik ta’limni amalga oshirishda u evristik usul sifatida qo`llaniladi. Masalan, butun sonlar ustida amallar bajarish va ularning xossalari o’rganishga analogik ravishda o`nli kasrlarning xossalari va ular ustida amallar bajarish o`rganiladi. Algebraik kasrlarning xossalarini o`rganishda, bu xossalarning arifmetik kasrlar xossalari bilan o`xshashligidan foydalaniladi. Analogiya masalan, arifmetik va geometrik progressiyalarni bir vaqtning o’zida o`rganish uchun asos bo`lib xizmat qiladi. Demak, matematik ta’limini amalga oshirishda analogiyani qo‘llash o’quvchilar tomonidan tushunchalarni o`zlashtirilishini osonlashtirish uchun hizmat qiladi.
Analogiya qat'iy matematik isbot usuli bo`lib sanalmasada, ko’p hollarda unga asoslanib chiqarilgan xulosalar oddiy va tushunarli bo`lgani uchun undan yangi bilimlarni egallashda ham, masalalarni yechish usullarini o`rgatishda xam <sub>shuningdek egallangan faoliyat usullarini o‘zgargan sharoitlarda qo‘llashda ham keng</sub> foydalaniladi. Bunda ijobiy natijaga erishish uchun o`quvchilar o`tilganlar o‘quv materialini chuqur o`zlashtirilgan bo‘lishlari lozim, chunki analogiyaga asoslanib xulosa chiqarishda xatolikga yo`l qo`yish va natijada noto`g`ri xulosaga kelish mumkin.
7-misol. O‘quvchi agar son 2 ga va 3 ga bo‘linsa, u holda 6 ga ham bo‘linishi haqidagi to‘g‘ri xulosaga asoslanib, anologiya bo‘yicha agar son 2 ga va 4 ga bo‘linsa u holda 8 ga ham bo‘linadi deb xulosa chiqargan bo‘lsa, bu xulosa yolg’on bo‘ladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun kontrmisol keltirish yetarlidir: 12 soni 2 ga ham, 4 ga ham bo‘linadi, lekin 8 ga bo‘linmaydi.
_8-misol. Sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish xossalarida umumiylikni mavjudligi, ba’zi o‘quvchilarda ularni boshqa xossalarini o‘rganishda ham doimo qo‘llash mumkin degan noto‘g‘ri analogiyaga olib kelishi mumkin. Masalan _{ifoda uchun “kasrning surat va maxrajini umumiy ko‘paytuvchiga qisqartirish mumkin” qoidasi, analogiya bo‘yicha, ular tomonidan ifodaga ham qo‘llanilib, qo‘shiluvchilarni (b ni) “qisqartirib” yuboradilar, ya’ni deb hisoblaydilar.}
Biz yuqorida to‘liq bo‘lmagan induksiya va anologiya bo‘yicha keltirib chiqarilgan xulosalar taxmin (gipoteza) xarakteriga ega bo‘lib, ularni isbotlash yoki rad etish kerakligini ko‘rsatib o‘tdik. Bu xulosalar umumlashtirish asosida keltirib chiqarilganligi tufayli ko‘p hollarda umumiylik kvantorini o‘zida saqlovchi jumla sifatida ifoda qilinadi. Bundan esa ularni rad etish uchun kontrmisol keltirish, chinligini ko‘rsatish uchun deduktiv hukmdan foydalanib isbotlash talab etiladi. Demak bilish jarayonini tashkil etishda to‘liq bo‘lmagan induksiya va matematik isbotlashlar bir-biri bilan yaqindan bog‘liq ekanligini ko‘rsatish mumkin.
_{9-misol. Ketma-ket 4 ta natural son berilgan. Bu ketma-ketligida o‘rta sonlar ko‘paytmasi, chetki sonlar ko‘paytmasidan 2 taga ortiq bo‘lishi chin bo‘ladimi?
Yechish. Masala savollarga javob berish uchun dastlab taxmin (gipoteza)ni tuzishga kirishamiz. Buning uchun bir nechta konkret xollarni ko‘rib o‘tamiz.
Berilgan ketma-ketlikni 1,2,3,4 sonlari tashkil etsa, bo‘ladi. Boshqa ketma-ketlik, masalan, 5,6,7,8 ni olsak bo‘ladi. Xuddi shuningdek, ketma-ketlik 2,3,4,5 sonlaridan tashkil topgan bo‘lsa, bo‘ladi. Ko‘rib o‘tilgan xususiy hollarga tayanib to‘la bo‘lmagan induksiyaga asoslangan holda quyidagi: “Berilgan ketma-ketlikda o‘rta sonlar ko‘paytmasi doimo chetki sonlar ko‘paytmasidan 2 taga ortiq” taxmini chin bo‘lishi haqidagi xulosa chiqarishimiz mumkin.
Ma’lumki umumiylik kvantorini o‘zida saqlovchi jumlani chinligini isbotlash zarurdir. Ketma-ket natural sonlarni , , , lar bilan bilan belgilab o‘rta sonlar va chetki sonlar ko‘paytmasini tuzamiz: ular mos ravishda ( )( ) va ( ) bo‘ladi. Bu ifodalarni aynan shakl almashtirib: ; birinchi ko‘paytma ikkinchisidan 2 taga ortiq ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Ushbu bobda biz matematik hukmlar va ularning turkari, hamda deduktiv (to’g’ri) hukm chiqarish sxemalari, hukm to’g’ri chiqarilganligini tekshirish usullari, to’liq bo’lmagan induksiya va analogiya yordamida xulosalar keltirib chiqarishni ko’rib o’tdik. Keyingi bobda matematik isbotlashning mohiyati, isbotlash usullari: bevosita isbotlash, bilvosita isbotlash, to‘la induksiya metodini qo‘llab, matematik induksiya metodini qo‘llab isbotlashlarning nazariy asoslarini ko‘rib o‘tamiz.}