Differensial tenglamalar yechimi

2. Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(2.1)
uchun boshlang’ich shartlar berilgan
(2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M₀(x₀, u₀, u^’₀, ..., u₀^(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.

(2.1) ning yechimini Teylor qatori (x₀-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:
(2.3)
Bu erda |x-x₀| h, h – etarli kichik son.
Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.
Agar x₀=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.
Misol.
y^”=x²u (2.4)
tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(2.5)
(2.4) dan ketma-ket hosila olsak
y⁽³⁾=2xy+x²y ^’
y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’
y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’
y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾
y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾
y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾
Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:
y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0;
y⁽⁸⁾(0)=60.
Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:
y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (2.6)
Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.
Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.
Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (2.7)
Bundan ikki marta hosila olsak
y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1...
u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2...
Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (2.7) ga qo’ysak
u=1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+a_nxⁿ
Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y^’’-x²y =0 foydalanamiz:
2a₂ +6a₃x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+...+ n(n-1) a_n x^n-2–
–x²(1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+ a_nxⁿ+...)=0.
Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz
2a₂+6a₃x+(12a₄–1)x²+20a₅x³+(30a₆ –a₂)x⁴+(42a₇–a₃)x⁵+
+(56a₈–a₄)x⁵...=0.
Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a₂=0, a₃=0, 12a₄–1=0 .
Bundan a₄= ; a₅=0; 30a₆-a₂=0; a₆=0 ;a₇=0 va 56a₈-a₄=0 x.k.
Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin


u=1+ x⁴+ x⁸...
3. Galerkin usuli
Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.
Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin: (3.1)
(3.2)
(3.3)
bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar; -o’zgarmaslar.
Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:
>0, >0.
Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini tanlab olamiz:
1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega S² .
2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar da
chiziqli bog’liq emas.
3)

4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi funktsiyalar
S² to’plamda to’la gruppani tashkil etadi.
Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi.
Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda
(3.4)
qidiramiz.
Noma’lum a₁, a₂,..., a_n koeffitsiyentlar quyidagi shartlardan topiladi:

bu erda
R (x, a₁ ,a₂ ,... a_n) = y^’’_n(x) + p(x)y^’_n(x) - q(x)y_n(x) - f(x).

Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

(3.5)
bu erda


Hosil qilingan (3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi.
Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.
Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani
y^’’(x)+2xy^’(x)-2y(x)=2x², 0 x 1,
y^’(0)=-2, y(1)+y’(1)=0
taqribiy yechimini toping.
Yechish. Koordinat funktsiyalarni ... , darajali funktsiyalar 1, x, x², ... kombinasiyasi sifatida olamiz.
funktsiya chegaraviy shartlarni qanotlantirishini xisobga olsak ekanligini topamiz.
funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni

hosil qilamiz.
k,i=1,2 uchun c_ki va d_i larni topamiz:






U holda Galerkin tenglamalar tizimidan

noma’lum koeffitsiyentlarni topamiz:
a₁=1,14852, a₂=-0,13498.
Natijada, berilgan chegaraviy masalani taqribiy yechimini hosil qilamiz:
y(x) 1,094-2x+1,149x²-0,135x³.