Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

2-§ Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari

Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , 0⋅∞, ∞-∞, 1^∞,

0⁰, _∞⁰ ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.

1. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x→0 da f(x)→0 va g(x)→0 bo‘lsa, ^{f (x )} nisbat ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha x_→a da g( x ) f ( x ) nisbatning limitini topishga qaraganda f' ( x ) nisbatning limitini topish g( x ) g' ( x )

oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.

1-teorema. Agar

1. 
   f(x) va g(x) funksiyalar (a-δ;a)∪(a;a+δ), bu erda δ>0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)_≠0, g‘(x)≠0;
   
2. 
   lim f ( x ) = lim g( x ) = 0;
   

x→a x→a

3. 
   hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) lim f'( x ) =A x_→a g'( x )
   

mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim ^{f ( x )} mavjud va x_→a g( x )

lim ^{f ( x )} =lim ^{f'( x )} (2.1) x_→a g( x ) x_→a g'( x )

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra lim f(x)=0=f(a), lim g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli

x→a x→a bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.

Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [a;x], bu erda x_δ, kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a

bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu f ( x )− f ( a ) = f'( c ) tenglik g( x )− g( a ) g'( c )

o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan

^{f ( x )} = ^{f'( c )} (2.2) g( x ) g'( c )

bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, a bo‘lganligi sababli, x→a bo‘lganda c→a bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2.2) tenglikdan lim ^{f ( x )} =lim ^{f'( x )} =A kelib x_→a g( x ) x_→a g'( x )

chiqadi.

Shunga o‘xshash, x holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi.

Misol. Ushbu xlim→2 x^ln(₂ +^x₃²_x⁻₋³₁₀⁾ limitni xisoblang.

Yechish. Bu holda f ( x ) = ln( x² − 3), g( x ) = x² + 3x −10 bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi. Haqiqatan ham,

1. 
   lim f ( x ) = limln( x² −3) = ln1= 0, lim g( x ) = lim( x² +3x −10 ) = 0; x→2 x→2 x→2 x→2
   
2. 
   ^x , g'( x ) = 2x + 3, x ≠ ± 3;
   
3. 
   limx→2 g'( x ) = limx→2 ( x2 − 32)(x2x + 3) = 0 bo‘ladi.
   

Demak, 1-teoremaga binoan limx→ x^ln₂ ^(x₃²_x⁻₋³₁₀⁾ = 0.

_{2 +}

1-eslatma. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 3) shart bajarilmasa ham mavjud bo‘lishi mumkin, ya’ni 3) shart yyetarli bo‘lib, zaruriy emas.

Masalan, f x funksiyalar (0;1] da 1), 2) shartlarni

qanoatlantiradi va lim ^{f ( x )} ₌ lim( x sin ¹ ) ₌ 0, lekin x_→0 g( x ) x_→0 x

limx→0 g^f'^'(⁽ x^x)⁾ = ^limx→0( 2xcos ¹x + sin ¹x ) mavjud emas, chunki x_n = ¹_n → 0 n→∞ da _π

1 1 2( 1)n+1 ,

x

x_n →0 n→∞ da esa

.

^{x 0} x x ⁿ→∞ _π( 2n ₊ ) 2 2

2

2-teorema. Agar [c;+_∞) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,

1. 
   (c;+∞) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalar mavjud va g‘(x)≠0,
   
2. 
   lim f ( x ) = 0, lim g( x ) = 0;
   

x→+∞ x→+∞

3. 
   hosilalar nisbatining limiti lim ^{f'( x )} ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u x^→+∞ g'( x )
   

holda funksiyalar nisbatining limiti lim ^{f ( x )} mavjud va x→+∞ g( x )

lim ^{f ( x )}= lim ^{f'( x )} (2.3) x→+∞ g( x ) x→+∞ g'( x )

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi c sonni musbat deb olish mumkin. Quyidagi _{х =} ¹ formula yordamida x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchiga t

almashtiramiz. U holda x→+∞ da t→0 bo‘ladi. Natijada f(x) va g(x) funksiyalar t o‘zgaruvchising f 1 va g1 funksiyalari bo‘lib, ular (0,1 ] da aniqlangan.