Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, lim f ( x ) ₌ 0,

x→a lim f ( x ) = ∞, bo‘lganda f(x)⋅g(x) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, x→a uning quyidagi

f

kabi yozish orqali ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

Shuningdek, lim f ( x ) = +∞, lim g( x ) = +∞, bo‘lganda f(x)-g(x) ifoda ∞-∞ x→a x→a ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib

f

f ( x ) ^⋅ g( x )

ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.

Ma’lumki, x→a da f(x) funksiya 1, 0 va ∞ ga, g(x) funksiya esa mos ravshda _∞, 0 va 0 intilganda (f(x))^g(x) darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1^∞, 0⁰, _∞⁰ ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval y=(f(x))^g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x)_⋅ln(f(x)). Bunda x_→a da g(x)ln(f(x)) ifoda 0⋅∞ ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.

Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0⋅∞, ∞-∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰, ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochiщda, ularni yoki ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.

2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda

lim f ( x ) ₌ lim f'( x ) ₌ lim f''( x )

x_→a g( x ) x_→a g'( x ) x_→a g''( x )

tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi.

1

Misol. Ushbu lim^_ ^{tgx }_ ^x2 limitni hisoblang.

x→0 x 

1

Yechish. Ravshanki, x_→0 da ^_ ^{tgx }_ ^x2 ifoda 1^∞ ko‘rinishdagi aniqmaslik

 x 

bo‘ladi. Uni logarifmlab, aniqmaslikni ochishga keltiramiz:

ln x cos^x2 x −tgx tgx (ln tgx )'

limx→0ln y ₌ x→0 x2^x = limx→0 ( x2^x)' = limx→0 tgx ⋅ 2xx2 = 12 limx→0 x − sinx3xcos x = lim

= 12 limx→0 ( x − sin( x3x)cos' x )' = 12 limx→01− cos23xx2+ sin2 x = 16 limx→0 2sinx22 х = 16 ⋅2 = 13.

1₂ 1

Demak, lim tgx  x = e3 = 3 e .

x→0 x 

Misollar

1. Quyidagi limitlarni hisoblang:

a) xlim→∞ 3x3 −45xx32 +73x + 4 ; b) x→limπ/ 2 ln(sinπ− 2xx) ; c) limx→1 x1−1 − ln1x ;

+

d) lim( 2 ₋ x )tg^πx ; e) lim x^x ; f) .

x→² 4 x→0+ x→+∞