Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar
Download 0.52 Mb.
|
asosiy qismi. Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari
t t xlim→+∞ gf (( xx))= tlim→+0 gf ((11t )) e’tiborga olsak, (2.3) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi. t Teorema isbot bo‘ldi. ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar x→a da f(x)→∞, g(x)→∞ bo‘lsa, f ( x ) nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday g( x ) aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz. 3-teorema. Agar f(x) va g(x) funksiyalar (a;∞) nurda differensiallanuvchi, hamda g‘(x)≠0, lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞, x→∞ x→∞ lim f'( x ) mavjud bo‘lsa, x→∞ g'( x ) u holda lim f ( x ) mavjud va lim f ( x )= lim f'( x ) bo‘ladi. x→∞ g( x ) x→∞ g( x ) x→∞ g'( x ) Isbot. Teorema shartiga ko‘ra lim f'( x ) mavjud. Aytaylik lim f'( x )=µ x→∞ g'( x ) x→∞ g'( x ) bo‘lsin. U holda ∀ε>0 sonni olsak ham shunday N>0 son topilib, x≥N bo‘lganda µ (2.3) tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda x≥N tengsizlikdan x∈(a;∞) kelib chiqadi. Aytaylik x>N bo‘lsin. U holda [N;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:
Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o‘rinli: µ, bundan esa µ tengsizliklarga ega bo‘lamiz. Teorema shartiga ko‘ra lim f ( x ) = ∞, lim g( x ) = ∞, f(N) va g(N) lar esa x→∞ x→∞ chekli sonlar. Shu sababli x ning yyetarlicha katta qiymatlarida f ( x ) − f ( N ) kasr g( x ) − g( N ) f ( x ) kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, x≥M
larda µ-ε< f ( x )<µ+ε (2.4) g( x ) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy ε>0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha x≥M larda (2.4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa lim f ( x )=µ ekanligini anglatadi. x→∞ g( x ) Teorema isbot bo‘ldi. Yuqorida isbotlangan teorema x→a (a-son) holda ham o‘rinli. Buni isbotlash uchun t= 1 almashtirish bajarish yyetarli. х − а Misol. Ushbu lim ln x limitni hisoblang. x→+∞ x Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+∞) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g‘(x)=1; 3) lim f'( x ) = lim 1/ х =0, ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham x→+∞ g'( x ) x→+∞ 1 mavjud va lim ln x =0 tenglik o‘rinli. x→+∞ x Download 0.52 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling