Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar
Download 0.52 Mb.
|
asosiy qismi. Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi.
- Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi.
+ Bu erda n sonni r dan katta deb olishimiz mumkin. U holda θ<1, p>q bo‘lganligi uchun 0 < 1 qpθ < n1+1qp ≤ np+1 <1 (4.4) n +1 bo‘ladi. Shuningdek, n>p>q bo‘lganligi uchun p n! -butun son, chunki n! da q q ga teng bo‘lgan ko‘paytuvchi uchraydi. Ravshanki, ko‘rinishdagi yig‘indi ham butun son bo‘ladi. Demak, n>p uchun (4.3) tenglikning chap tomoni musbat butun son, o‘ng tomoni esa (4.4) ga ko‘ra birdan kichik musbat son bo‘ladi. Bu kelib chiqqan ziddiyat e sonining ratsional son deb faraz qilishimizning noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi. Shuning uchun e – irratsional son bo‘ladi. 2. Sinus funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=sinx funksiyaning istalgan tartibli hosilasi mavjud va n-tartibli hosila uchun quyidagi formula o‘rinli edi (I.8-§): f ( n )( x ) = sin( x + nπ ). x=0 da 2 f(0)=0 va
2 ( −1) , agar n = 2к +1 Shuning uchun (3.10) formulaga ko‘ra
3! ( 2k +1)! ( 2k + 2 )! ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘lamiz. 24-rasm 24-rasmda f(x)=sinx, P3(x), P5(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan. Kosinus funksiya uchun Makloren formulasi. Ma’lumki, f(x)=cosx funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun f ( n )( x ) = cos( x + nπ ) formulaga egamiz (I.8-§). 2 x=0 da f(0)=1 va f ( n )(0 ) = cos n2π = (0−, 1)agark , agarn = 2nk =+21,k Demak, sosx funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli: сosx =1− x2 + x4 − x6 +...+(−1)k x2k + x2k+2 cos(θx + kπ+π ), 0<θ<1 (4.6) 2! 4! 6! 2k! (2k +1)! 2 25-rasm 25-rasmda f(x)=cosx, P2(x), P4(x) funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
f(x)=(1+x)µ (µ∈R) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiya (1;1) intervalda aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchi. Uni Makloren formulasiga yoyish uchun f(x)=(1+x)µ funksiyadan ketma-ket hosilalar olamiz: f'( x ) =µ(1+ х )µ−1, f''( x ) =µ(µ−1)(1+ x )µ−2 , f'''( x ) = µ(µ−1)(µ− 2 )(1+ x )µ−3,..., f ( n )( x ) =µ(µ−1)...(µ− n +1)(1+ x )µ−n . (4.7) Ravshanki, f(0)=1, f(n)(0)=µ(µ-1)...(µ-n+1). Shuning uchun f(x)=(1+x)µ funksiyaning Makloren formulasi quyidagicha yoziladi: (1+ x)µ=1+µx +µ(µ−1)x2 +...+µ(µ−1)...(µ−n+1)xn +µ(µ−1)...(µ−n)(1+θx )µ−n−1xn+1 (4.8) 2! n! (n+1)! 0<θ<1. f(x)=ln(1+x) funksiya uchun Makloren formulasi. Bu funksiyaning (-1;∞) intervalda aniqlangan va istalgan tartibli hosilasi mavjud. Haqiqatan ham, f'( x ) = (ln(1+ х ))′ = (1+ x )−1 funksiyasiga (4.7) formulani qo‘llab, unda µ=-1 deb n ni n-1 bilan almashtirsak, f formulani hosil qilamiz. Ravshanki, f(0)=0, f(n)(0)=(- 1)n-1(n-1)! Shuni e’tiborga olib, berilgan funksiyaning Makloren formulasini yozamiz: ln(1+ x ) = x − x22 + x33 − x44 + ...+(−1)n−1 xnn + ((n−1)1n)(1 xnx+1)n+1 , 0<θ<1 (4.9) + +θ
Yuqorida keltirilgan asosiy elementar funksiyalarning Makloren formulalari boshqa funksiyalarni Teylor formulasiga yoyishda foydalaniladi. Shunga doir misollar ko‘ramiz. 1-misol. Ushbu f(x)=e-3x funksiya uchun Makloren formulasini yozing. Yechish. Bu funksiyaning Makloren formulasini yozish uchun f(0), f’(0),...,f(n)(0) larni topib, (3.10) formuladan foydalanish mumkin edi. Lekin f(x)=ex funksiyaning yoyilmasidan foydalanish ham mumkin. Buning uchun (4.1) formuladagi x ni -3x ga almashtiramiz, natijada е−3х =1− 3х + 9х2 − ...+( −1)n 3n хn + ( −3х )n+1 e−3θx , 0<θ<1, 1! 2! n! ( n +1)! formulaga ega bo‘lamiz. 2-misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x0=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing. Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (4.9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va n−1 ( x −1)n + ( −1)n ⋅ ( x −1)n+1 n+1 , 0< θ <1 n ( n +1) (1+θ( x −1)) formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula x-1>-1 bo‘lganda, ya’ni x>0 larda o‘rinli.
Download 0.52 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling