Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

4-§.Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi

1. e^x funksiya uchun Makloren formulasi. f(x)=e^x funksiyaning (∞;+_∞) oraliqda barcha tartibli hosilalari mavjud: f^(k)(x)=e^x, k=1, 2, ..., n+1.

Bundan x=0 da f^(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f⁽ⁿ⁺¹⁾(_θx)=e^θx va f(0)=1 hosil bo‘ladi.

Olingan natijalarni (3.10) formulaga qo‘yib

е^х =1+ ^х ₊ ^х2 ₊ ...+ ^хn ₊ ^хn+1 e^θx (4.1)

1! 2! n! ( n +1)!

bu erda 0<θ<1, formulaga ega bo‘lamiz.

23-rasmda f( x)= e^x funksiya va P₃(x) ko‘phad funksiyaning grafiklari keltirilgan.

Agar x=1 bo‘lsa,

е ₌1₊ ¹ ₊ ² ₊ ...₊ ¹ ₊ ^еθ (4.2)

1! 2! n! ( n +1)!

formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula yordamida e sonining irratsionalligini isbot qilish mumkin.

23-rasm

Haqiqatan ham, faraz qilaylik, _{е =} ^p - ratsional son bo‘lsin. Bunda e>1 q

bo‘lganligi uchun p>q bo‘ladi. (4.2) da _{е =} ^p desak, q

qp = 2+ 21! + 31! + .....+ n1! + ( n 1 qpθ

+1)! 

Bu tenglikning ikkala tomonini n! ga ko‘paytirsak quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

q^p n!−( 2⋅n!+ 2¹! ⋅n!+ 3¹! ⋅n!+...+1) = n¹ 1_^q^p_^_^θ (4.3)