Dinamik dasturlash uchun optimallashtirish usullari

Optimal boshqaruv muammosi bayoni

Uzluksiz yoki diskret vaqtdagi tenglamalar to'plami bilan aniqlangan uzluksiz va diskret ob'ektlar yoki avtomatik boshqaruv tizimlari berilsin:

Bu yerda x, x, e I ", u, u, e I '" cheklangan vaqt oraliqlarida aniqlanadi. Uzluksiz (chap) va diskret (o'ng) boshqaruv tizimlarida jarayonlarning sifat funktsiyalari quyidagi shaklga ega:

Teskari aloqa tizimlarida optimal boshqaruvni hisoblash uchun zarur optimallik shartlarini shakllantirish talab qilinadi

minimal integral (uzluksiz tizim uchun) yoki umumiy (diskret tizim uchun) funktsional (2.7.2) va ACSning barqarorligini ta'minlash.
Tuzilgan masalalar optimal stabilizatsiya muammolari deb ataladi . Muammoni hal qilish uchun R. Bellmanning dinamik dasturlash usulidan kelib chiqadigan zarur optimallik shartlaridan foydalanamiz.

R. Bellman tenglamasi sifatida dinamik dasturlashning optimalligi uchun zarur shartlar

Optimal barqarorlashtirish masalasi uchun zaruriy optimallik sharti sifatida Bellman funksional tenglamasini chiqarishni ko'rib chiqamiz . Jismlarning bezovtalanuvchi harakati tenglamasi, (2.7.1) umumlashtiruvchi tenglama uzluksiz vaqt uchun ko'rinishga ega bo'lsin.

sifat funksionali esa tegishli ifoda (2.7.2) bilan aniqlanadi. Biz £ va x (£) argumentlarining Lyapunov - Bellman funktsiyasini kiritamiz va uning + x momentlari uchun qiymatlarini ko'rib chiqamiz:

Nazorat qiling va har qanday qiymat> 0 uchun minimal] 5 ni berishi kerak. Shuning uchun 5>0 ning istalgan qiymati uchun tenglama (2.7.5) o'zgartirilgan shaklda funktsional (2.7.6) ta'rifi yordamida qayta yozilishi mumkin.

Agar Y (z (z), z) silliq funksiya bo'lsa, u holda chegara mavjud

Ushbu munosabatni, shuningdek, V ning boshqaruvdan mustaqilligini va (2.7.7) funktsional tenglamadan aylantirilgan tenglamani olish mumkin:

bu yerda ō * () - tenglikdagi integral uchun o'rtacha qiymat teoremasiga mos keladigan qiymat (2.7.7). (2.7.8) ni 5 ga bekor qilib, 5 - > 0 chegarasiga o'tgandan so'ng Bellman tenglamasi ko'rinishida kerakli optimallik shartini olamiz :

(2.7.2) dagi integral funksional minimalini ta'minlash, u e H ning ochiq o'zgaruvchan mintaqasi uchun. " Agar ta'rif sohasi chegaralangan bo'lsa, ya'ni u e D bo'lsa, (2.7.6) tenglama bo'lishi mumkin. shaklida yozilgan

(2.7.9) va (2.7.10) tenglamalarda asosiy rolni chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Lyapunov funksiyasi bo'lgan Y (x (z), 0 | funksiyasi bajaradi : = F () x (φ, φ uchun 1K < ω; Y (X (1k), φ uchun = 0 % = oo.
(2.7.1) dagi farq tenglamalari bilan tasvirlangan diskret tizimlar uchun Bellman tenglamasi shaklga ega.

Bu yerda DE, diskret sistemaning traektoriyalari bo‘yicha Lyapunov funksiyasining o‘sishi.
Shunday qilib, R. Bellman tenglamasi Riccati tenglamalarini echishni talab qiluvchi optimal barqarorlashtirish masalalari uchun zarur optimallik shartlarini belgilaydi.