Dinamik sistemalarning tarixi va fazali portretlarini chizish yo’llari haqida Annotatsiya

– fazali fazoda
vaqtlarda dinamik sistemani
ifodalaydi. Haqiqatan ham,
∀ ∈
nuqta
( ) ∈ . O’z navbatida
( )
( ) ∈ bo’ladi hamda va hokazo davom etadi.
An’anaviy ravishda oqim (potok) deb ataladigan uzluksiz vaqtli dinamik
sistemalarda sistemaning holati vaqtning har bir lahzasi uchun haqiqiy yoki kompleks
sonlar o’qida aniqlanadi. Kaskadlar va oqimlar ramziy va topologik dinamikalarda
ko’rib chiqiladigan asosiy mavzu hisoblanadi.
fazali fazo ko’p o’lchamli fazo yoki ko’p o’lchamli fazodagi biror soha bo’lsin,
vaqt esa uluksiz hisoblanadi.
fazali fazoning har bir
nuqtasi
( ) tezlik tezlik
bilan harakatlanishi ma’lum bo’lsin. U holda
∈ nuqtaning traektoriyasi avtonom
differentsial tenglama
( ) ning (0)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi
echimi bo’ladi. Ushbu ko’rinishda berilgan dinamik sistema avtonom differentsial
tenglama uchun fazali oqim (fazovo’y potok) deyiladi.
Dinamik sistema (uzluksiz vaqtli) ko’pincha ma’lum bir sohada aniqlangan,
mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlarini qanoatlantiradigan avtonom
differentsial tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Dinamik sistemaning muvozanat
holati differentsial tenglamaning kritik (singulyar, qo’zg’almas) nuqtalariga, yopiq
fazali egri
chiziqlari esa uning davriy echimlariga to’g’ri keladi.
Dinamik sistemalarning qaysi usulda berilishiga qaramay, uzluksiz va diskret vaqtga
ega bo’lgan sistemalar o’rtasida quyidagicha aloqa mavjud: bu sinflarning ko’plab
xususiyatlari umumiy yoki bir–biriga osonlikcha o’tkaziladi. Uning quyidagicha
sxematik ko’rinishga ega:
Dinamik tizimlarning tasnifini keltiramiz.

---

Operator ko’rinishi:
- chizikli
[ ( ) ( )]
[ ( )]
[ ( )];
- nochiziqli;
Sistema:
- uzluksiz vaqtli (oqimlar);
- diskret vaqtli (kaskadlar).
Tebranishga oid sistemalar:
- chiziqli va nochiziqli;
- to’plangan va taqsimlangan;
- avtonom va avtonom bo’lmagan;
- avtotebrantiruvchi.
Konservativ (gamiltonovi) va konservativ bo’lmagan.
Yuqorida aytib o’tilganidek, dinamik sistemani tahlil qilishning asosiy
vazifalaridan biri bu sistema holatining evolyutsiyasini o’rganishdir. Odatda sistema
holati ba’zi qonunlar bilan beriladi. Evolyutsiyani o’rganishda sistemaning muvozanat
(qo’zg’almas) nuqtalari topish va uning fazali portretini chizish muhim rol o’ynadi.
Ushbu aniqlangan ma’lumotlar orqali dinamik sistemaning kelajakda o’zining qanday
tutishi, xususan evolyutsiyasi haqida xulosa chiqarish mumkin. Shu munosabat bilan
berilgan ayrim dinamik sistemalarning muvozanat nuqtalari topish va fazali
portretlarini chizish masalasini ko’rib chiqamiz.
Ikkita avtonom oddiy differentsial tenglamalar sistemasining umumiy
ko’rinishini qaraymiz:
( , )
( , )
(1)
Ikkita avtonom oddiy differentsial tenglamalar sistemasining echimi shu
funktsiyani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funktsiya bo’lishi mumkin. O’zgaruvchilarning
turli boshlang’ich qiymatlarida fazali traektoriyalarning birlashmasi fazali portretni
hosil qiladi.
Fazali portretni qurish – bu tenglamalar sistemasining analitik echimini bilmay
turib, x va u o’zgaruvchilarning o’zgarish xarakateri haqida ma’lumotlarni beradi. (1)
tenglamalar sistemasidagi ikkinchi tenglamani birinchisiga bo’lib olamiz:
( , )
( , )
Bundan ko’rinib turibdiki,
vektorning
( , ) nuqtadagi yo’nalishi

---

( , ), ( , ) larning ishorasiga bog’lib bo’lib, quyidagi jadval ko’rinishida
berilishi mumkin:

---

bu erda
,
lar vaqtning
orttirmasiga mos keluvchi funktsiyalarning
orttirmasi.
Ma’lumki, chiziqsiz avtonom differentsial tenglamalar sistemasini, uning
qo’zg’almas nuqtalari (qo’zg’almas nuqtani topish masalasi quyida keltirilgan)
atrofida chiziklashtirish yordamida chizikli avtonom differentsial tenglamalar
sistemasiga keltirilib, xususiyati o’rganiladi. Ushbuni inobatga olib, umumiylikka zid
keltirmagan holda chizikli avtonom differentsial tenglamalar sistemalarini o’rganish
masalasini ko’rib chiqamiz.
Haqiqiy koeffitsientli oddiy differentsial tenglamalar sistemasini qaraylik
̇
̇

---

bunda
va
bo’lsin.
Bu avtonom odiiy differentsial tenglamalar sistemasi,
−
tekisligidagi fazali
fazo. Fazali fazodagi fazali traektoriyaning eskizi o’rganilayotgan sistemaning fazali
portreti deyiladi.
Sistema echimining ko’rinishi va xususiyati A  matritsaning xos sonlari bilan
aniqlanadi, ya’ni quyidagi xarakteristik tenglamaning ildizlari orqali sistema haqida
xulosa chiqarish mumkin:
det( −
)
−
−
0
det( −
) 0 xarakteristik tenglamani umumiy ko’rinishi yozamiz:
−
−
0 ⇔
−
0 ⇔
⇔
,
± (
) − 4
2
,
bu erda
. Xos sonlarning ishorasiga qarab o’rganilayotgan dinamik
sistemaning holati va kelajakda o’zini qanday tutishi mumkinligi to’g’risda xulosa
chiqarish mumkin.