Dinamik sistemalarning tarixi va fazali portretlarini chizish yo’llari haqida Annotatsiya

1–misol:  Chiziqli avtonom oddiy differentsial tenglamalar sistemasining
muvozanat holatini toping va fazali portretini chizing:
− 2 ,
2 − 2 .
Echish. Misolni quyida keltirilgan sxema orqali echamiz.
1.
Sistemaning matritsasini yozamiz va uning determinantini aniqlaymiz:
−1
0
2
−2 ,
−1
0
2
−2 − 2 ≠ 0.
≠ 0 bo’lganidan, berilgan sistema
0 nuqtada yagona muvozanat holatiga
(qo’zg’almas nuqtaga) ega bo’ladi. matritsaning xos qiymatlarini topamiz:
det( −
) 0 ⇒ −1 −
0
2
−2 −
0 ⇒ ( 1)( 2) 0 ⇒
⇒
− 1,
− 2.
2.
Ikkala xos qiymatlar haqiqiy va manfiy, shuning uchun
0 muvozanat nuqta
turg’un tugunni aks ettiradi.
3.
Tenglamaning asosiy izoklinasini, ya’ni, fazali traektoriyalarga urinma
bo’ladigan to’g’ri chiziqlarni topamiz. Vertikal izoklina tenglamasi quyidagi
ko’rinishda bo’ladi:
− 0
0.
Gorizontal izoklina tenglamasi quyidagicha yoziladi:

---

2 − 2 0
.
4. Asimptota tenglamasini topamiz. Buni matritsaning
,
xos vektorlarini
hisoblab, amalga oshiramiz:
a)
( −
)
0 ⇒ −1 1
0
2
−2 1
0 ⇒ 0
0
2 −1
0 ⇒
⇒ 2
−
0 ⇒
1,
2 ⇒
1
2 ;
b)
( −
)
0 ⇒ −1 2
0
2
−2 2
0 ⇒ 1 0
2 0
0 ⇒
⇒ 1 ∙
0 ∙
0
2 ∙
0 ∙
0 ⇒
0,
1 ⇒
0
1 .
5. Tekislikda
,
xos vektorlarni va
gorizontal izoklinani tasvirlaymiz
hamda sistemaning sxematik fazali portretini chizamiz (quyidagi rasmga qarang).
Fazali traektoriya
vektor bo’ylab yo’nalgan to’g’ri chiziqqa urinib, nolga
yaqinlashadi, chunki bu vektorga eng kichik modul bo’yicha
| | 1 xos qiymat to’g’ri kelgan. Demak, fazali portretning ko’rinishi quyidagicha
bo’ladi:
2–misol. Quyidagi dinamik sistemani fazali portretini chizing:
̇ 2
,
̇ 3
.
Xarakteristik tenglamani tuzish uchun
,
larni berilgan
tenglamalar sistemasiga qo’yamiz:
(2 − )
1
2
0,
3
1
(4 − )
2
0.
det( −
) 0 dan
2 −
1
3
4 −
0 ⇒ − 6 5 0 ⇒
1,
5.
ekanligini topamiz.

---

Birinchi xos son, ya’ni
1 bo’lgan hol uchun tegishli hisoblarni amalga
oshiramiz:
1
2
0,
3
1
3
2
0.
Demak,
− . Xususiy holda,
1 deb olib,
− 1 ekanligi topamiz.
Shuningdek,
5 hol uchun
− 1, 
1 bo’ladi. Echimning umumiy ko’rinishi
quyidagicha:
( )
,
( )
−
3
.
Izlanayotgan tenglamaga
2
va
3
almashtirishlar bajarib fazali
portretni (sistema kanonik ko’rinishga keladi va fazali portretni qurish bir muncha
oson bo’ladi) quramiz.
>
> 0 ekanligidan,
lim
→
∞, lim
→
∞ bo’ladi. Fazali portretning ko’rinishi (
∗
da, ya’ni
( , ) tekisligida) quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
Hozirgi vaqtda dinamik sistemalarning amaliy ahamiyati keng ko’lamli ekanligi
sababli, xususan uzluksiz vaqtli dinamik sistemalar bo’yicha ilmiy izlanishlar olib
borilishi dolzarb hisoblanadi. Jumladan, so’ngi vaqtlarda mazkur yo’nalishda bir qator
ilmiy izlanishlar [1–13] olib borilgan. O’rganilayotgan dinamik sistemalar biologik
jarayonlarni ifodalovchi matematik model bo’lib hisoblanadi va [14–15] maqolada
biologik jarayonlarni ifodalovchi turli matematik modellar tahlil qilingan va biologiya
bilan bog’liqligi ko’rsatib o’tilgan.
Bundan tashqari, mazkur ilmiy ishda qo’llanilgan matematik usullar, xususan
matritsalar nazariyasi, oddiy differentsial tenglamalar nazariyasidan foydalanilganligi
va uni aniq misollarda qo’llab ko’rsatilganligi [16–30] maqolalarni o’rganish va tahlil
qilishda qulaylik tug’diradi.