Dinamik sistemalarning tarixi va fazali portretlarini chizish yo’llari haqida Annotatsiya

---

Dinamik sistemalarning tarixi va fazali
portretlarini chizish yo’llari haqida
Annotatsiya: maqolada dinamik sistemalarning fanga kirib kelish tarixi
yoritilgan, uning qo’llanilish sohalari aytib o’tilgan. Ayrim dinamik sistemalarning
muvozanat (qo’zg’alma) nuqtalari topilgan va fazali portretini chizish yo’llari
keltirilgan.
Kalit so’zlar: dinamik sistemalar, qo’zg’almas nuqta, izoklina, fazali portret,
evolyutsiya.
Dinamik sistemalar – bu haqiqiy ob’ektlar, jarayonlar yoki hodisalarning
matematik modeli bo’lib, ma’lum bir holati tasvirlangan sistema sifatida ifodalanishi
mumkin. Dinamik sistema jarayonning hatti – harakatini bir holatdan ikkinchisiga
o’tish ketma – ketligini tasvirlaydi. Yoki boshqacha aytganda, dinamik sistema – bu
haqiqiy jarayon (fizik, biologik, iqtisodiy va boshqalar) evolyutsiyasining matematik
modeli bo’lib, har qanday vaqtda ham holati o’zining dastlabki holati bilan aniqlanadi.
Bu sistema haqida tasavvurlar hatti – harakatlari dinamikaning qonunlari bilan
tavsiflanadigan mexanik sistema mohiyatini umumlashtirilishi sifatida paydo bo’ldi.
Zamonaviy fanda dinamik sistema tushunchasi deyarli har qanday tabiatdagi
sistemalarni – fizik, kimyoviy, biologik, iqtisodiy, ijtimoiy va boshqalarni o’z ichiga
oladi.
Dinamik sistemalar nazariyasining asoschilari bo’lib – A.Puankare va
A.M.Lyapunovlar hisoblanadi. Ular XIX asrning oxirlari XX asrning boshlarida
osmon mexanikasi, aylanuvchi suyuqliklarning turg’unligi shakli nazariyasi va shu
kabi masalalarni o’rganish jarayonida oddiy differentsial tenglamalar sistemasining
echimini topishga harakat qilishadi. Shunda oddiy differentsial tenglamalar sistemasi
echimining alohida berilgan bir vaqtdagisini o’rganishga emas, balki sistemaning
(masalan fizik jarayonni) barcha (juda ko’p echimlar) turli xil boshlang’ich holatiga
mos keladigan echimlarini topishga duch kelishadi.
Ushbu holda
( ) ni fazoda mumkin bo’lgan barcha holatlarning egri chizig’i
sifatida tasavvur qilish va egri chiziqlarning geometrik xossasidan foydalanib, u
to’g’risida to’liq ma’lumotga ega bo’lish mumkin. Bu egri chiziqlar fazali
traektoriyalar deb ataladi.
XX asrning birinchi choragiga kelib dinamik sistemalar nazariyasi boshqa bir
qator matematiklar tomonidan ham rivojlantirildi. A.A.Andronov aniq misollar orqali
tabiatda va laboratoriyalarda chiziqsiz jarayonlarning o’rganishda dinamik sistemalar
rolining samaradorligini ko’rsatib bergan. Bu dinamik sistemalar nazariyasining
rivojlanishiga katta turtki bo’lgan. Chunki, mavjud chiziqli matematik modellar

---

haqiqiy jarayonlarni to’liq ifodalab bera olmasligi, buning uchun chiziqli bo’lmagan
matematik modellar zarurligi namoyon bo’la boshlagan.
A.A.Andronov A.Puankarening chegaraviy tsikllari yordamida avtotebranishni
tasvirlaydi va fanga yangi yo’nalish chiziqli bo’lmagan dinamika nazariyasi sirtini
(konturi) chizib bergan.
L.S.Pontryagin bilan hamkorlikda parametrlarning kichik o’zgarishlariga
ta’sirchan bo’lmagan «qo’pol» sistema (ponyatie gruboy sistemo’) tushunchasini
kiritgan. Bu sistema parametrlarni kichik o’zgarishlarida o’zining xossasini keskin
o’zgartirmaydi, ya’ni uning holati parametrlarni o’zgarishidan oldin va keyin ham
topologik ekvivlentligicha qoladi. «Qo’pol» sistemalar barcha dinamik sistemalar
funktsional fazosinining ochiq sohalarini to’ldiradi. Bu sohalardan tashqarida,
jumladan ularning chegarasida «qo’pol» sistemalar yotadi. Chegaralardan o’tish
bifurkatsiya – dinamik sistemalarning shakli almashishi holati bilan kuzatiladi.
Parametrning boshlang’ich qiymatlarida dinamik sistemalarning shakli va barcha
bifurkatsiyalarini bilgan holda parametrning chekli qiymatlarida parametrga bog’liq
dinamik sistemalar oilasining shaklini oldindan aytib berish mumkin.
XX asrning ikkinchi yarmida D.V.Anosov, V.I.Arnold, R.Bouen, R.Mane,
Ya.G.Sinay, S.Smeyl, S.Xayasi, L.P.Shilnikov va boshqalar A.A.Andronov
nazariyasini rivojlantirib, chuqur va izchil dinamik sitemalar nazariyasini yaratishdi.
Bu nazariya yordamida haqiqiy sistemalar modellarini keng qamrovli o’rganish va
aniq tasavvurlarga ega bo’lish mumkin.
Dinamik sistemaning barcha joiz holatlari uning fazali fazosini tashkil qiladi.
Shunday qilib, sistema o’zining dastlabki holati va harakatlar qonuni bilan bir
holatdan boshqasiga o’tadigan qonun bilan tavsiflanadi. Shuningdek, dinamik
sistemani holat haqida ma’lumotga ega sistema deb ham qarash mumkin.
Dinamik sistemalarning eng muhim xususiyati ularning barqarorligidir. Ya’ni,
ma’lum bir vaqt davomida kichik va xilma – xil tashqi ta’sirlar va ichki toyilishlarda
(vozmutenie) o’zining tayanch shakli va asosiy bajaradigan funktsiyalarini saqlab
qolishidir.
Barqarorlik – tashqi ta’sirlar natijasida emas, balki sistemalarning ichki
xususiyati hisoblanadi. Ushbu sistemalarning rivojlanishi haqidagi tasavvurlar
sistemali tashkiliy strukturadagi shunday o’zgarishlarni aks ettiradiki, ular
sistemanining asosiy funktsiyalari samarali amalga oshirishga olib keladi.
Dinamik sistemalar umumiy nazariyasining bir tarmog’i sifatida qaraladigan
halokatlar nazariyasida (teoriya katastrof) sistemalarning sifat jihatdan qayta tuzilishi
tahlil qilinadi.
Dinamik sistemalar haqidagi tasavvurlarning rivojlanishi murakkab sistemalarni
o’rganish bilan bog’liq. Bunda sistemalarning ichki xossalari dinamikasini o’rganish
alohida o’rin egallaydi. Mexanik sistemalar holatida ichki omillarning harakati

---

inertsiya kuchlariga keltiriladi. Sistemalar murakkablashganda, ichki omillarning
ahamiyatliligi oshadi. Sistemalarning ichki faollik manbalari va ularning maqsadli
ishlashi va holatini o’rganish muammolari birinchi o’ringa chiqadi.
Dinamik sistemalar o’rganilayotgan jarayondan kelib chiqib, diskret vaqtli va
uzluksiz vaqtli sistemalarga ajratiladi. An’anaviy ravishda kaskadlar deb ataladigan
diskretli vaqtli sistemalarda sistemaning hatti– harakatlari (fazali fazodagi sistemaning
traektoriyasi) holatlar ketma– ketligi bilan tavsiflanadi.
ixtiyoriy to’plam va
bu –
ni o’zini – o’ziga akslantish
( : → ) bo’lsin.
Ushbu akslantirishning fazali fazoni nuqtalariga bir necha marta qo’llanilgan
iteratsiyasini qaraymiz. Bu