Дискретные случайные величины

Основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:
Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
 Математическое ожидание
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание выражается интегралом:
где плотность распределения величины .
 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Для непрерывной случайной величины дисперсия, выражается уже не суммой, а интегралом
или в более удобном для вычислений виде:
Среднее квадратическое отклонение, или стандартное отклонение, случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии и имеет соответственно обозначение
Часто применяется еще одна характеристика положения – так называемая медиана случайной величины.
Медианой случайной величины называется такое ее значение Me , для которого
т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше . Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.
Пример 1. Непрерывные случайная вличина задана следующей функцией распределения
.
Найти функцию плотности, и .
Решение. Определяем функция плотности
Математическое ожидание непрерывной случайной величены вычисляется по формуле
Дисперсия случайной величены вычисляется по формуле
Ответ:
Пример 2. Дана плотность вероятности случайной величины :
Найти функцию распределения, и .
Решение. По определению функция распределения
Следовательно, функция распределения принимает вид:
Математическое ожидание случайной величины:
Дисперсия случайной величины:
Ответ: