Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Разделим а на Ь с остатком:

КРЕАТИВНАЯ ЛИЧНОСТНО И ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 1
Содержание: 3
1. ВВЕДЕНИЕ. 5
На защиту выносятся: 21
Глава 1. Психолого-педагогические основы проектирования креативной личностно и профессионально ориентированной технологии профильного обучения математике. 25
1.1 Анализ современного состояния математического образования. 25
1.2. Психолого - педагогические основы личностно ориентированного обучения и информационно- синергетического механизма педагогических взаимодействий. 50
создавать такие ситуации. 86
Философия, педагогика, общая теория систем: 88
Неопределенный Мтипуляжвный 106
1.Консервативная функция сохранения порядка 106
^Ач ! ⁴ 108
ч 108
/ ч* 109
ч ШИОГГОФКЙ 109
Выводы по I главе: 114
2.1. Дидактические принципы модели креативной личностно и профессионально ориентированной технологии профильного обучения математике. 118
2.2. Проектирование образовательной технологии развития и 135
самоактуализации личности. 135
2.3. Личностно и профессионально ориентированный подход к обучению математике в профильных классах на основе системы внеурочной деятельности учащихся. 151
2.4. Использование компьютерных технологий при личностно и 160
профессионально ориентированном обучении математике в профильных классах общеобразовательной школы. 160
» 9 9 201
1.ЬАЕЕ^ВС\ 251
б) ana 257
1) 264

Доказательство.
Покажем, что процедура деления с остатком в алгоритме Евклида имеет конечное число шагов. Действительно, |Ь| > Г]> г₂>..., причем Г1 >0, г₂>0,..., значит к < |Ь|, т.е. число шагов конечно.
Пусть ё = (а,Ь), 0=г_к+1.
Так как ё делит числа а, Ь то из (3) ё делит г^
Так как ё делит Ь, г_ь то из (4) ё делит и т.д.
Так как ё делит г_к_ь г_к, то из (6) ё делит г_к+1 = О.
Из (7) Э делит г_к. Так как Э делит г_к, г_к+1 , то из (6) Б делит г_к_]. Так как Э делит г_к__ь г_к, то из (5) О делит г_к_₂ и т.д. Так как Э делит г_ь г₂, то из (4) Э делит Ь. Так как Э делит г_ь Ь, то из (3) Э делит а, значит Э делит (а,Ь) = ё. Так как ё делит О, Э делит ё, то ё=П, что требовалось доказать.
Теорема 1.2.
Пусть ё=(а,Ь), тогда существуют целые т, п такие, что ат+Ьп=ё.
Доказательство.
Согласно алгоритму Евклида, имеем
ё=г_к+] = г_к_! - г_кя_к+, = г_к_! - q_k+] (г_к_₂ - ЧкГк-О = • • • = та + пЬ,
где т, п - некоторые целые числа.
Теорема доказана.
Пример 1. Найдите (187,55).
187 = 3*55 + 22 55 = 2*22+11 22=2*11,
значит (187,55)=11, причем 11 =55-2*22= 55-2(187-3*55)= 7*55 +(-2)* 187.
Теорема 1.3.
Уравнение ах+Ьу=с разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда (а,Ь) делит с.
Доказательство.
Пусть ё =(а,Ь). Так как ё делит а, Ь, то ё делит ах+Ьу, т.е. ё делит с. Обратно, пусть ё делит с, т.е. с=ёк, где к е Ъ. Покажем, что уравнение (1) имеет решение в целых числах. Согласно теореме 1.2., существуют целые числа т, п такие, что ат +Ьп = ё. Значит а(тк) + Ь(пк) = ёк=с, следовательно, пара чисел (тк,пк) является решением (1).
Теорема доказана.
Теорема 1.4.
Если числа а, Ь взаимно простые, т.е. (а,Ь) = 1 и а делит Ьс, то а делит с.
Доказательство.
Так как (а,Ь) =1, то, согласно теореме 1.2., существуют целые ш, п такие, что ат + Ьп =1, значит (ас)т + (Ьс)п = с, причем а делит Ьс, следовательно, а делит (ас)п + (Ьс)п = с.
Теорема доказана.
Следующая теорема позволяет по заданному решению (х₀,уо) уравнения (1) находить все решения уравнения (1).
Теорема 1.5.
Пусть (х₀,уо) некоторое решение уравнения (1), тогда любое другое решение
уравнения (1) имеет вид х= х₀+ —X, у= уо~ — Ъ где ё=(а,Ь), \
с1 с1
Доказательство.
Пусть ах₀+ Ьуо= с, ах+Ьу=с, тогда, составив разность данных уравнений, получим а(х-хо) = Ь(у₀-у). Пусть а=тё, Ь=пё, где (т,п)=1, тогда т(х-х₀)=п(у₀- у). Так как п делит ш(х-х₀), (ш,п)=1, то согласно теореме 1.4., п делит х-х₀, т.е.
х-х₀ =Ш, где \ <е Ъ, значит ш(п1)=п(у₀-у), следовательно, у= у о - Ш, где ш=—,
й?
Ъ й
Теорема доказана.
Применение теории в решении задач
Задача №1
Решить в целых числах 9х+2=(у+1)у Решение.
Перепишем данное уравнение в виде х = ^ ^^ ^{+ 2}). Необходимо, чтобы (у-
1)(у-2) делилось на 9. Поскольку (у+2) -(у -1)=3, то для этого достаточно, чтобы (у-1) делилось на 3. Итак, у-1=3к или у=Зк+1. Ответ. х=к(к+1), у=Зк+1, где к - любое целое число.
Задача №2
Решить уравнение х² + Зх + 9 = 9п² (п - целое число) в целых числах. Решение.
Решим уравнение относительно х: