Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

-3±л/4и² - 3
х = .
2
Для решения в целых числах необходимо, чтобы подкоренное выражение было полным квадратом: 4п² - 3 = к²,4и² - к² = 3,(2п - к)(2п + к) = Ъ. Отсюда находим возможные значения п из систем
Г2п - к=3; рп-к=1; 2п-к=-3; 2п-к=-1;
\ 2п+к= 1 |2п+к=3. 2п+к=-1. 2п+к=-3.
Получаем п=±1. При п=1, х=0, - 3, при п= - 1 - те же значения для х.
Задача №3
Найти решение уравнения в целых числах: + ^[у = 7250 . Решение.
Перепишем уравнение в виде 7У = -\/250 - 7х . Возведем его почленно в квадрат:
у = 250 + х-2л/250х . Число 250+ х - целое при целом х. Следовательно, необходимо, чтобы V250х был целым. Для этого необходимо, чтобы 250х=р² или х=10к², где к - целое. Кроме того, поскольку ^[у должен быть
неотрицательным, надо, чтобы выполнялось неравенство V250 -л/х > 0 или х <250, 10к² < 250,1 к I < 5. Подставляя возможные значения к в выражения для х =10к² и у= 10(1 к I - 5)² , получим все решения данного уравнения в целых числах.
Ответ. X! =0, х₂ =10, х₃ =40, х₄=90, х₅ =160, х₆ =250; у! =250, у₂ =160, у₃ =90, у₄ =40, у₅=10,у₆=0. Задача №4
Решить уравнение Зт+41п=17, где питег. (Вступительные: 1998г. ВГУ, математический факультет). Решение.
Выразим из данного уравнения п = ^ • Д^ля того, чтобы существовали
целые п необходимо, чтобы 17-Зт было кратно 41. Необходимо представить 17-Зт в виде суммы слагаемых, каждое из которых было бы кратно 41. Пусть тИ: - 49, тогда 17 - Зт=17 - 3(1 - 49)=17-Зт+147=164-31. Число 164 кратно 41. Чтобы сумма разделилась на 41 необходимо и достаточно, чтобы t было кратно 41. Пусть 1=41р, тогда 17-Эт=164-123р=41 • ■(4-Зр). Решение уравнения тогда примет вид т=41р-49, п=4—Зр, где Ответ. т=41р-49, п=4-3р, ре Ъ. Задача №5
Найти все значения а, при которых существует единственное целочисленное решение (х, у) системы
Зх² +11ху+10у² =7, (ВГУ, 1996г., Эконом, факультет)
х+у>0, 4а²х-3ау<0. Решение.
Решим первое уравнение данной системы:
Зх² +11ху+10у² =7, П=121у² -120у²=у²;