До совсем недавнего времени в вузовских программах не было выделенного курса дискретная математика

Иерархическая система укрупненных дидактических единиц для преподавания курса «Дискретной математики»
Составляющая дисциплина 5
Составляющая дисциплина 2

Составляющая дисциплина 1
Составляющая дисциплина 1

	Домашне(
+
	задание

Практическое занятие	Домашнее
+
	задание

Практическое занятие

Лекция

+

Лекция

+

Комплексная дисциплина Днскретная математика 1

Комплексная дисциплина Дискретная математика 2

Рис. 2.1

Алгоритм, как дидактическая единица, объединяет в себе применение знаний из различных дисциплин и этим обеспечивает то самое «про­странственное и временное совмещение элементов укрупненного знания», о котором говорилось в описании технологии УДЕ выше.
Например, алгоритм решения диофантовых линейных уравнений неявно включает в себя не только алгоритм Евклида, как прямой, так и обратный, но и несколько теорем из теории делимости, и несколько логических выводов, а алгоритм определения планарности графов по матрице смежности основан на нескольких теоремах из теории графов, комбинаторики и логическом выводе. С позиции компетентностного подхода, алгоритм представляет собой такую дидактическую единицу, при изучении которой развиваются все составляющие интеллектуальной компетентности:

• 
  языковая компетентность, как средство записи алгоритма и описания модели, к которой алгоритм применяется;
  
• 
  логическая компетентность, для строгого обоснования каждого шага алгоритма;
  
• 
  индуктивная компетентность, для обеспечения массовости алгоритма. Подробно алгоритмы, предлагаемые для использования в рамках курса
  

дискретной математики, описаны в следующих параграфах.
С точки зрения применяемой нами модели компетентности в процессе укрупнения дидактических единиц происходит переход от формирования знаний (декларативных, составляющих множество (2, и процедурных, составляющих множество Р) к рассмотрению взаимосвязей этих знаний, что позволяет правильно формировать компетентность в целом. Ясно, что в компетенцию компетентности К не должны входить проблемные единицы (ситуации, задачи) , для которых не имеется соответствующих процедурных знаний в множестве Р. С другой стороны, и множество Р, не должно содержать знаний ^, для которых не имеется области применения в множестве И декларативные, и процедурные «непривязанные» знания, с профессиональной точки зрения оказываются бесполезными. Но при соблюдении предлагаемой технологии такие элементы компетентностей и не должны преподаваться. В то же время, они могут и должны возникать в процессе саморазвития компетентности, то есть за счет процедурных и декларативных элементов множества Ф.
Элементы этого множества Ф возникают как раз, как следствие процесса укрупнения дидактических единиц, который показывает принципы объединения разнородных элементов (моделей, методов решения задач, алгоритмов, теорий) в единый агрегат, позволяющий одновременно расширять компетенцию () и процедурную составляющую Г компетентности К.
Именно эта составляющая всякой компетентности (способность к саморазвитию, описываемая множеством Ф) формируется при решении так называемых «нестандартных» задач. Эти задачи, собственно, и называются так, благодаря своей «междисциплинарности», так как их решение требует применения знаний из различных дисциплин.
Но не менее важной при рассмотрении этих задач оказывается и такая дидактическая составляющая, которая показывает, что и «нестандартные» задачи решаются вполне методично и являются алгоритмизуемыми при использовании имеющегося арсенала методов дискретной математики. В этом смысле, показательна «задача о двух сторожах», решение которой не требует выхода за рамки исчисления высказываний, то есть попадает в компетенцию дедуктивной компетентности К₀. Анализ различных решений этой задачи, показывает, что, несмотря на элегантность решения полученного интуитивно, то есть средствами индуктивной компетентности, интуитивное решение обладает меньшей общностью, по сравнению с решением, получаемым «стандартным» алгоритмом построения логической функции по таблице истинности, то есть одним из процедурных элементов ^ множества знаний Р. (В то же время само решение о применении в рассматриваемой ситуации метода ^ из множества Р, является проявлением некоторой способности ср_п из Ф). Эта и другие нестандартные задачи рассмотрены в Приложении 2.
В Приложении 3 представлен курс «Основы дискретной математики», разработанный на основании компетентностного подхода, и ставящий основной целью формирование, языковой, дедуктивной, индуктивной и алгоритмической компетентностей у будущих ИТ-специалистов.
Курс ДМ вводит студентов в относительно молодые, но уже весьма высоко развитые разделы математики, составляющие теоретический фундамент информатики. По сути дела, любая попытка построить строгую теорию для какого-то раздела информатики приводит к необходимости привлечения понятий и результатов соответствующего раздела дискретной математики.
В результате освоения курса ДМ студенты должны знать математическую логику и ее применения к архитектуре компьютерных систем, иметь ясное представление об алгебраических системах и их связи с типами данных и реляционными базами данных, понимать особую роль теории графов в информатике, знать язык логики предикатов и его значение для спецификации и верификации программ, для использования в теории принятия решений, владеть основами теории чисел и комбинаторики, для их применения в теории информации и теории кодирования . Все перечисленное и составит сформированную на основе ДМ целостную интеллектуальную компетентность.
Курс ДМ основан курсе высшей математики, тесно связан со всеми остальными специальными дисциплинами учебного плана и служит фундаментом прикладных разделов информатики. Включаемые в состав курса дисциплины связаны алгоритмо-ориентированным подходом в изложении всех разделов, а также аналогией структур излагаемых теоретических курсов, наличием понятий возникающих в одной дисциплине и используемых в построении и изложении последующих дисциплин, а также понятий и моделей, представляющих собой обобщение ранее изложенных.
Многие дисциплины, традиционно включаемые в курс ДМ вынесены в отдельные курсы, ввиду обособленности и специфичности их математического аппарата, и того, что они представляют вполне самостоятельные теоретические дисциплины, требующие предварительного знания таких областей как теория вероятностей , матричное исчисление и др. Примером таких дисциплин могут служить теория кодирования, теория информации, теория автоматов, исследование операций.
Указанные взаимосвязи представлены на схеме взаимодействия дисциплин курса.(рис.2.2)
Весь курс «Дискретная математика» разбивается на два параллельно изучаемых блока. В первый входят дисциплины:

• 
  основы теории множеств (понятие мощности, операции над множествами, трансфинитные числа, алгоритмы в теории множеств)
  
• 
  основы теории отношений (свойства и представление отношений)
  
• 
  комбинаторика (выборки и множества, бином Ньютона)
  
• 
  основы теории чисел (теория делимости, теория простых чисел)
  
• 
  основы теории графов (определение и свойства, элементы и типы графов, графы и множества, графы и многогранники, матричное представление, алгоритмы теории графов)
  

Во второй блок входят дисциплины:

• 
  основы математической логики
  
• 
  исчисление высказываний (словарь, синтаксис и семантика исчисления, логические формулы и их формы, построение логических функций и схем, многозначные и нечеткая логики, аналогия логических теорий, алгоритмы исчисления высказываний)
  
• 
  исчисление предикатов (понятие предиката, словарь, синтаксис и семантика исчисления предикатов, квантификация и преобразование предикатов, приведение предикатов к предваренной форме, аналогия исчисления высказываний и исчисления предикатов, алгоритмы в исчислении предикатов)
  
• 
  основы теории алгоритмов и анализа алгоритмов (формализация понятия алгоритма и вычислительного процесса, системы текстовых замен,
  

«марковские» алгоритмы текстовых замен, алгоритмы поиска, алгоритмы сортировки, аналогия арифметики и булевой алгебры) При параллельном изложении материала теории множеств и исчисления высказываний у студентов закрепляется понимание аналогии указанных теорий, а именно аналогии операций над множествами и логических связок для высказываний. В случае последовательного преподавания дисциплин аналогия рассматривается в соответствующих разделах. Также эффективно параллельное изложение теории нечетких множеств и нечеткой логики, комбинаторики и раздела о таблицах истинности и построении логических функций, теории графов и теории алгоритмов и др. Тем самым на метауровне представляются такие составляющие индуктивной компетентности как обобщение и аналогия.
Как видим, по мере укрупнения единиц от ЛПД до ДМ1 и ДМ2 укрупняются и результаты взаимодействия самих дидактических единиц. А главным результатом их взаимодействия становится формирование компетентностей, составляющих РЖ:
алгоритмическая (структурирование данных, моделирование,
алгоритмизация), логическая (дедуктивная),
индуктивная (применение аналогии и обобщения), языковая (формулирование теорий, описание моделей, алгоритмическая нотация).
и, следовательно, для развития интеллектуальной компетентности в целом.