Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

F(s) — функция Баклея — Леверетта; F* (s) — ее производная (р.© =0,5)

/\F(s>
^^2 /	l/rco / Y fif-
k \ 1 Ч \ 1 -V \ , Ч /\ J ч/ V / '“V'	\ *

0.5 I


и вытесняемую фазы, т. е. относи­тельные проницаемости, как и кри­вые капиллярного давления, раз­личны в зависимости от того, какая из фаз (более или менее смачива­ющая) первоначально заполняла пористую среду, т. е. существует гистерезис относительных проница­емостей, аналогичный гистерезису кривых капиллярного давления. «Неподвижные» насыщенности s. и а. совпадают с «неснижаемыми» насыщенностями на кривых капил­лярного давления.
Итак, если распределение фаз в порах равновесно, для фильтра­ции двухфазной жидкости справед­ливы уравнения Маскета и Леве­ретта
Ui = — (kfi (s)/[*i) grad Pi, i=l,2,
(IV.ll)
p₂ — pi = P_c(s). (IV. 12)
Чтобы получить замкнутую систему уравнений, необходимо за­писать уравнения сохранения массы для обеих фаз, которые вы­водятся совершенно аналогично тому, как уравнение неразрыв­ности для однофазного течения (1.16):
(IV. 13)
(IV. 14)
Поскольку pi и рг — функции давлений р\ и р₂, а изменение пористости в однородном пласте зависит только от изменения сред­него давления р = p\s + р₂ (1 — s), уравнения (IV. 11) — (IV. 14) обра­зуют замкнутую систему для pi и s.
Если вытесняемая и вытесняющая фазы — слабссжимаемые ка­пельные жидкости, влиянием сжимаемости на распределение насы­щенности часто можно пренебречь. Действительно, характерное время нестационарного перераспределения давления за счет сжи­маемости составляет t\ — L²/x, где % — коэффициент пьезопровод­ности; L — характерный размер. Характерное время вытеснения t₂ = L/u, где и — средняя скорость фильтрации. Обычно скорость фильтрации равна около 10~³ см/с, L не более 10⁴—10⁵ см, а * ^ 10⁴ см²/с. Поэтому t\/t₂ = uL/% ^ 10 ², откуда видно, что неста­ционарные процессы упругого перераспределения давления закан­чиваются в начале вытеснения.
Если жидкости и пористую среду можно считать несжимаемыми, вместо (IV. 13) и (IV. 14) получаем соотношения
mds/dt — div u\ = 0; mds/dt + div u₂ = 0. (IV. 15)
Уравнения (IV. 15) замыкают систему уравнений фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости (IV. 11) — (IV. 12).
Иногда неудобно использовать в уравнениях фильтрации р\ и р₂, так как давление в каждой из фаз не определено в тех областях, где соответствующая фаза неподвижна или отсутствует. Введение среднего давления в виде р = рis + р₂ (1 — s) может быть удобно для учета сжимаемости скелета пористой среды, но приводит к до­вольно громоздким соотношениям при общей формулировке задач вытеснения. Для несжимаемых жидкостей оказывается удобным определить среднее давление по формуле
Р = _PlF (s) + р₂ [1 - F (s)] - S Р_с (s) F’ (s) ds, (IV. 16)
где F (s) = f\ (s)/[/i (s) + 1x0/2 (s)], fx₀ = (xi/|x₂.
Из (IV. 12) и (IV. 16) нетрудно получить


S
1
pi = P + S Pc (s) F' (s) ds — P_c (s) [1 — F (s)],
P2-P+1 Pc (S) F'(s) ds + P_c (s) F (s). (IV. 17)
S
Отсюда можно получить для суммарной скорости фильтрации обеих фаз и = Ui + и₂ выражение
« = — (&p(s)/ui)gradP, (IV. 18)
де <р (s) = /1 (s) + Ы2 (s).
Выражение (IV. 18) может рассматриваться как обобщение закона Дарси для суммарной скорости. Комбинируя соотношения (IV. 17) с уравнениями обобщенного закона Дарси и неразрывности, можно получить систему уравнений двухфазной фильтрации, содержащую только неизвестные Р и s:
div [? (s)grad/³] = О, (IV. 19)
ds/dt — div [(kfi (s)/mu.i) grad P] — а²ДФ (s) = 0, (IV.20)
где
S
Ф (s) = — $ J'(s) /2 (s) F (s) ds; a² = a Vnr,
0
Д — оператор Лапласа.
Ограничения в применимости системы уравнений двухфазной фильтрации в форме (IV. 11), (IV. 12) и (IV. 15) связаны главным образом с действием трех факторов: неоднородности пористой среды, влияния гидродинамических сил на распределение фаз в порах и неравновесности.
Соотношение гидродинамических и капиллярных сил в порах может быть охарактеризовано безразмерным параметром [48]
П_с = Vkl | grad Р \/а Vm, (IV.21)
где I — характерный размер порового канала, занятого одной фа­зой. Если в качестве I принять характерный размер пор y^rk/m, то вместо П_с получим параметр
Пс = k\ gradP \/ (IV.22)
Последний параметр часто записывается через скорость фильт­рации и = | (&/[i.) grad Р | и иногда называется капиллярным чис­лом N_c.
Nc = щи/а. (IV.23)
Экспериментальные исследования показывают, что параметр N_c при малых его значениях не влияет на вид кривых относительной проницаемости вплоть до некоторого критического значения №_с. Со­гласно результатам Д. А. Эфроса [48], значение №_с имеет порядок 10^-5, т. е. влияние гидродинамических сил сказывается на распре­делении фаз в порах, когда они на несколько порядков меньше капиллярных. Так как критическое значение N_c крайне мало, есть основания сомневаться в правильности выбора параметра N_c или ГС в виде (IV. 22) или (IV. 23). По всей вероятности, в опытах на довольно крупных образцах, проведенных Д. А. Эфросом и В. П. Оно­приенко, характерный размер (диаметр) каналов, занятых каждой фазой I, намного превосходил размер пор У к/т. В результате кри­тическое значение параметра П_с оказывается намного больше, чем критическое значение П_с или N_c. Характерный размер I определя­ется, по-видимому, неоднородностью пористой среды и тем больше, чем больше размер рассматриваемой области течения или образца породы («масштабный фактор»). Влияние неоднородности на рас­пределение фаз на макроуровне в связи с этим будет рассмотрено в § 5 данной главы.
В последнее время, в связи с широким применением поверх­ностно-активных веществ для повышения нефтеотдачи пластов рядом авторов проведены детальные исследования возможности уменьшения остаточной нефтенасыщенности при вытеснении путем снижения поверхностного натяжения на границе нефть — вода. С точки зрения теории двухфазного течения в пористой среде эти исследования сводятся к оценке влияния капиллярного числа N_c на «неподвижную» насыщенность. Эксперименты проводились на малых образцах с высокой степенью однородности и на модельных пористых средах или моделях элементарных пор. Эксперименты показали, что при V_c<0,05 остаточная насыщенность о* (ме­нее смачивающей фазы) не зависит от этого параметра, а при N_с>0,38 происходит полное вытеснение (о* = 0). При значениях скорости фильтрации, вязкости и межфазного натяжения, со­ответствующих условиям вытеснения нефти водой без примене­ния поверхностно-активных веществ, параметр N_c находится в пределах 10^_6—10^-4, т. е. влияние N_c на остаточную нефтенасы­щенность не должно наблюдаться. Заметим, что во всех экспери­ментах высокие значения N_c (до 0,1—1,0) достигались путем сни­жения межфазного натяжения до 10^-5—10~⁶ Н/м. Достигнуть вы­соких значений N_c путем увеличения скорости не удается вслед­ствие нарушения закона Дарси.
Рассмотренное влияние скорости на относительные проница­емости сказывается как в стационарных, так и в нестационарных условиях течения. В нестационарных процессах, кроме того, про­является влияние неравновесности распределения фаз (см. § 4 данной главы).
Трехфазная фильтрация. В предыдущем изложе­нии мы ограничились только случаем двухфазной фильтрации. В немногочисленных пока исследованиях трехфазной фильтрации закон фильтрации записывается в форме