Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

ms

+ Ж

V_:F[s + dV,
^ = °-

ds'

д)Ц

= 0,
(IV. 125)

РИС. 49. К исследованию уравне­ния (IV.129)

Для нахождения в нулевом при­ближении структуры фронта ищем вновь решение системы (IV. 125) в виде бегущей волны:
S=S(X), V;=V-(t), £= С—С0.

(IV. 126)
Из второго уравнения (IV. 125) получим Vc = const = V, причем V определяется из внешнего решения. Подставляя (IV. 126) в (IV.125) и интегрируя, находим
— mcsT-W^s— cs) = const. (IV. 127)
Граничные условия имеют вид s(—со) = s₂, s(co) = s,, где si, _S2 берутся из нулевого приближения внешнего решения, т. е. в одномерном случае — из решения Баклея — Леверетта. При С = = 4-оо s = 0, так что из (IV. 127) следует
const = —mcs₂+ VF (s₂); с = ^ ^ (IV. 128)
Подставляя это выражение в уравнение (IV. 127), получим:
F (s- cs) =F (s₂) + (s — s₂) ^{F (S}_S²₂^}^ —- (IV. 129)
Это уравнение легко исследуется графически (рис. 49). Отрезок АВ соответствует правой части уравнения (IV. 129); отсюда следует, что отрезок ВС соответствует — cds/dX- Таким образом, при изме­нении s от s₂ до Si величина — cds/dX все время остается положи­тельной; она обращается в нуль по краям интервала и имеет один максимум.
Перепишем уравнение (IV. 129) в виде
_c| ₌ s-x(fte)- ⁽*~4 ^(IV•^130,
где ^ — функция, обратная F, очевидно, она определена и моно­тонно возрастает на отрезке [О, 1]; правая часть уравнения (IV. 130)
обращается в нуль по концам интервала [si, s₂] и положитель­на внутри него. Интегрируя уравнения (IV. 130), получим

V ^F(^S2)~^F(^sl) т s₂~^si
* I F~F(st)




^F Ы ~ ^F (^si)

(S —s_x).

(IV. 131)
s — l\F (s)]






Л =

V ^f(s₂)~^f(^si)

S. + 5

ds
^s~yA^F (^s)l

(IV. 132)
Из этого соотношения, как и в § 3 данной главы, получаем для эффективной толщины фронта вытеснения—расстояния, на котором насыщенность изменяется от si + 8 до s₂ — 3,
Таким образом, в отличие от структуры, непосредственно обу­словленной влиянием капиллярного давления (стабилизированной зоны), толщина фронта вытеснения при преимущественном влия­нии неравновесности прямо пропорциональна скорости вытеснения.




е/б]

a cos 0 (тк)^²
IV^l

(IV.133)
Заметим, что отношение малых параметров, отвечающих двум указанным физическим эффектам, равно
Поэтому классическая модель, приведенная в § 3 данной главы и отвечающая е/е| > 1, справедлива при малых скоростях вытесне­ния, а рассмотренная в данном параграфе модель, когда e/ej < 1 (преимущественное влияние неравномерности), соответствует большим скоростям. Учитывая результаты § 3 данной главы, приходим к выводу, что зависимость толщины фронта вытеснения от скорости имеет вид немонотонной кривой, неограниченно возрастающей как при малых, так и при больших скоростях. Этот вывод согласуется с лабораторным экспериментом (см. рис. 44).
Для условий вытеснения нефти водой в нефтяном пласте а ^ ?х0,01 Н/м, /л^0,1; &sxl0^-13 м², pi^lO^-3 Па-с. Тогда s/sj — — (10^б—10⁷)/т, где т — характерное время установления равнове­сия в секундах. Если учесть, что это время, как показывают оценки, может быть весьма велико — до года и более, то в обыч­ных условиях основную роль играют эффекты неравновесности. Поэтому в промысловых условиях толщина фронта должна расти с ростом скорости вытеснения, и в конце концов может стать со­поставимой по размерам с размерами пласта.
Эти выводы, полученные здесь на простейшей модели неравно­весности, имеют общий характер. Из них следует существенность неравновесных процессов при разработке нефтяных месторожде­ний и необходимость их изучения и учета при проектировании разработки.
§ 5. Устойчивость вытеснения несмешивающихся жидкостей
Для того, чтобы реально осуществлялись движения, описыва­емые приведенными выше решениями уравнений двухфазной филь­трации, они должны быть устойчивы, по крайней мере, к малым возмущениям. Возмущения, связанные с неоднородностью среды и непостоянством скорости фильтрации, всегда возникают при течении жидкостей в реальных пористых средах. Они могут быть немалыми, тогда устойчивость к малым возмущениям есть необхо­димое, но не достаточное требование.
1. При исследовании устойчивости решения Баклея — Леверет- та в крупномасштабном приближении нужно ограничиваться воз­мущениями, длина волны которых (кривизна фронта скачка) ве­лика по сравнению с толщиной стабилизированной переходной зоны. Рассмотрим устойчивость плоскопараллельного вертикаль­ного вытеснения несмешивающихся жидкостей с учетом силы тя­жести. Уравнения двухфазной фильтрации в крупномасштабном приближении запишем в виде
«/ = — (kfi (s)/[a_;) grad (р + рjgx), / = 1,2, (IV. 134)
mdsjdi -f div u\ = 0; div« = 0; и — щ -f и₂- (IV. 135)
Компоненты векторов и по ссям х, у, z обозначим и.,, Vj, Wj. Ось х направлена вертикально вверх.
Течением, устойчивость которого исследуется, является плоско­параллельное движение вдоль оси х с постоянной скоростью фильт­рации «о = ыю + «20- Позади и впереди скачка, движущегося со скоростью V, насыщенность постоянна и равна соответственно s^— = s_c, s+ = so. При этом выполняются соотношения (см. § 2 дан­ной главы):


(IV. 136) (IV. 137)
V = и₀ (ф_е — ф₀)/т (s_c — so),
«I = «То = «офо С < 0,
U\ = и\о = иофо, С > 0, где ф_с = ф (s_c); фо = so); ^(s) = /^?(s)[l—\y/₂(s)/M₀]; W = Ир^₂; Др = pi—р₂, С = х — Vt.
Распределение давления описывается соотношениями, вытекаю­щими из уравнений (IV. 134) и непрерывности давления на скачке
Ро = ~ (pi/*) (ыо/?* + WF_C) С + p₂gC + Ро, (С < 0),
pt = — 0м/&) («оАро + 1УЛ>) С + p₂gC + Ро, (С > 0),
где с = ® (s_c); ®o = ?(so); F_c = F(s_c)-, F₀ = F(s₀)', Ро = const;
f\(^s) + Р-о/г (s), po = pi/p2-
Рассмотрим решение уравнений (IV. 134) и (IV. 135), отличаю­щееся от описываемого соотношениями (IV. 136)—(IV. 138) малыми возмущениями всех переменных, кроме насыщенности, т. е. положим
Я/= Я/о + £Я/, р = /?о + sp\ / = 1, 2. (IV. 139)
Здесь е — малая величина; вектор Я/ имеет компоненты ы,-, Уу, ю/. Уравнение возмущенного фронта скачка примем в виде 1_с = х_с—Vt=nx*(y, z, t). (IV. 140)
Подставляя выражения (IV. 139) в уравнения (IV. 134) и (IV. 135), получим, что в первом приближении по в возмущения (величины, обозначенные звездочкой) удовлетворяют системе уравнений
и) = —(kfj(s_c)li>.j) grad/?*, С < 0, / = 1, 2 (IV. 141)
я,- = — (kfj (s₀)/^j) grad р\ С > 0, div я* = 0. (IV. 142)
Поскольку искажения фронта малы, условия на скачке можно снести на плоскость С. Тогда с точностью до малых величин по­рядка е получим условия для возмущений при С = 0:
и\~—u\⁺ — m(s_c — so)dx*/dt. (IV. 143)
u*~+ «2^_ = «*⁺+ «2⁺ = и*, (IV. 144)
р'~ ~ Р^,+ = V\lk [1,V - l/tpo) u₀ + W(2~Fo- F_c)] x\ (IV. 145)
Кроме того, возмущения должны обращаться в нуль при С -►
-> + со.
Произвольное возмущение фронта скачка может быть разложено в интеграл Фурье по у и г. Поэтому для исследования устойчи­вости достаточно рассмотреть развитие синусоидального возмуще­ния, которое выразим в комплексной форме