Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

ds ди,
^т ЬТ + Ж ⁼ °' «1 + «2 = U-,
щ = Gi), %< -Сь u, = 0, —Gi < dp.'dx < 0. (IV.165)


kf₂ (S) (dp
«2 = - — а* + °²

< — G₂, «2 = 0. —G₂ < dp/d* < 0,
(j-₂ \0* ¹ ~] дх
s(x, 0) = So, «1 (0, t) — Uj u₂ (0, t) — 0, 0 < x < со, 0 < t < со.
Проведем обычную процедуру исключения из системы (IV. 165) давления и фазовых скоростей (ограничиваясь случаем G₂ > Gi):
ds . U dF* (s, U) _n ire*/ rn
W+m-HT— = ⁰' = ^
F* (s, U) = F (s) [1 + £/₂ (s) (G₂ — G\)I\x₂U], U > kf\ (s) (G₂ — Gi)/^_b F* (s, U) = l, U< kfi (s) (G₂ —G,)/(j.i, (IV.166)
s(0, 0 = s₀, F*(s, U) U=o = 1. F (s) = f\ (s) [/1 (s) + jj.i/₂ (s)/jx₂] ¹ -
Таким образом, по существу, мы имеем детально изученную выше задачу Баклея — Леверетта с тем лишь отличием, что функ­ция распределения потоков F* зависит от суммарной скорости вы­теснения U. Легко убедиться, что при G₂ > Gi это изменение сво­дится к уменьшению функции F* с увеличением U при сохранении ее обычного вида (рис. 52):
dF/dU < 0, dF/ds > 0, F* (s, со) = F (s). (IV. 167)



РИС. 52. Зависимость функ­ции распределения потоков F* от скорости вытеснения: 1 — и = щ: 2 — а = а, > в,


РИС. 53. Зависимость фронтовой насыщенности вф и коэффициента вытеснения от скорости вытес­нения для вязкопластичной нефти

Поэтому технологические показатели вытеснения закономерным образом зависят от скорости вытеснения, улучшаясь с ростом ее. При f/->-oo рассмотренная задача переходит в задачу Баклея— Леверетта. Таким образом, наличие у вытесняемой жидкости
пластических свойств всегда приводит к снижению показателей вытеснения по сравнению с вытеснением обычной нефти с вязко­стью, равной пластической вязкости неньютоновской нефти, при­чем это снижение тем более выражено, чем меньше темп вытес­нения (рис. 53). С практической точки зрения наиболее важным является вопрос о том, каким должен поддерживаться темп вы­теснения, чтобы указанные дополнительные потери нефти не были значительными. Из рис. 53 и данных аналогичных расчетов сле­дует, что для предотвращения значительного снижения коэффи­циента безводной нефтеотдачи и предельного коэффициента неф­теотдачи при вытеснении вязко-пластичной нефти водой интен­сивность вытеснения, характеризуемая безразмерным параметром
/ — Up.\/kG₂, (IV.168)
должна быть не меньше /*^ 1. (Заметим, что с увеличением интенсивности вытеснения могут возрасти отрицательные эффекты неравновесности и неустойчивости вытеснения, так что назначение оптимального режима требует учета всей совокупности сущест­венных факторов.)
Предельная нефтеотдача. Целики остаточной нефти. Как уже говорилось, предельное напряжение сдвига у нефти (предельный градиент давления при фильтрации нефти) приводит не только к снижению локального коэффициента вытес­нения, но и к образованию областей невытесненной нефти — цели­ков. Оценить связанные с этим потери нефти достаточно сложно; значительного упрощения можно добиться, рассматривая лишь предельное состояние — те наибольших размеров целики (так на­зываемые предельно-равновесные целики), остаточной нефти, ко­торые могут существовать в омывающем их фильтрационном пото­ке воды сколь угодно долго, но равновесие нарушится, если до­пустить существование целика больших размеров.
Таким образом, получаем следующую теоретическую схему: на поздней стадии вытеснения рассматривается стационарное состо­яние, при котором весь пласт (пространственная область D) раз­бивается на две области D_{ и D₂. Одна из них (D,) занята непод­вижной нефтью; в другой (D₂) движется вода, причем в этой об­ласти нефтенасыщенность снижена до предельно достижимого зна­чения. Движение воды следует закону Дарси. Неизвестная грани­ца С между областями D\ и D₂ является для потока воды поверх­ностью тока. Кроме того — и это принципиально — будем пола­гать, что на С выполняется условие предельного рав­новесия, состоящее в том, что в каждой точке поверхности С градиент давления (направленный, очевидно, вдоль С) равен по абсолютной величине предельному градиенту давления для нефти в данной точке пласта. Иными словами, мы полагаем, что нефть находится на грани начала движения в каждой точке поверхнос­ти С. Ситуация здесь типична для предельного равновесия пласти­ческих тел и во многом аналогична равновесию тела на наклон­ной поверхности, составляющей с горизонтом угол, равный углу

1^ См. также [9, 19, 41].