Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

Pc (si) = 2a/r_pi (IV.80)
откуда определяется значение si = s(0, t). Поскольку радиус г_р ве­лик по сравнению со средним радиусом пор, si оказывается близ­ким к s* — максимально возможной насыщенности при вытеснении.
Условие (IV.79) в безразмерных переменных внешнего разложе­ния X = х/L, х = uot/L имеет вид
1— F (si) + гдФ/Зх^о = 0, (IV.81)
где е = a²luoL — малая величина. При s 0, т. е. в рамках нуле­вого приближения внешнего разложения, условие (IV.81) сводится к F (si) = 1 или si = s*.
Формулировка условия при x=L также зависит от состояния среды вне рассматриваемого образца и может быть различной. Предположим, что при х > L находится пористая среда, проница­емость которой k' много больше, чем проницаемость рассматривае­мого образца, первоначально насыщенного вытесняемой фазой. На границе двух сред при двухфазном течении должно выполняться условие непрерывности давления в обеих фазах и, следовательно, непрерывности капиллярного давления. Из соотношения Леверетта (IV. 10) следует, что в высокопроницаемой среде капиллярное дав­ление близко к нулю при всех насыщенностях, соответствующих подвижным фазам. Поэтому в основной (малопроницаемой) среде при равенстве капиллярных давлений насыщенность должна быть близка к s*, если вытесняющая фаза более смачивающая (гидрофиль­ная среда при вытеснении нефти водой), и к s„, если она менее смачивающая (гидрофобная среда). Предельный переход -* оо при­водит к случаю, когда при х > L происходит истечение в свободное пространство, причем выполняются граничные условия вида
s(L,^) = s\ s(L,t) = s_t. (IV.82)
для гидрофильной и гидрофобной сред соответственно (под s подра­зумевается насыщенность вытесняющей фазой).
Условия (IV.82) в отличие от (IV.81) не согласуются с услови­ями при x=L, вытекающими из внешнего разложения (решение Баклея — Леверетта), в котором s (L, t) = s_L — переменная величина, определяемая из равенства L = uoF" (s_L) t/m. Несогласованность гра­ничных условий означает, что вблизи границы х = L образуется узкая зона (пограничный слой) с переменной насыщенностью, ме­няющейся от s_L до s_t или до s*. Распределение насыщенности в этой зоне можно исследовать методом сращиваемых асимптотических разложений, вводя, как и в стабилизированной переходной зоне, «капиллярный» пространственный масштаб I = а²/ио, сохраняя, од­нако, масштаб времени внешнего разложения. Заметим, что при вытеснении нефти водой из гидрофильной среды начальная насы­щенность So < s\ Значение s = s* при x—L достигается после под­хода воды к выходному сечению не мгновенно, а через времена
порядка to = a²/u%. Значение to много меньше характерного времени вытеснения Uu_Q\ период установления насыщенности s* при х = L нами не рассматривается. Пе­рейдем в уравнении (IV.77) к безразмер­ным переменным £ = ц₀(Г—х)!та^г, т =



РИС. 46. Распределение на­сыщенности при вытеснении нефти водой с учетом конце­вых эффектов
Среда: / — гидрофильная; 2 — гидрофобная
= uotlm. В результате имеем
eds/dz —F' (s) ds/dl — д²Ф (s) /д¥ = 0.
(IV.83)
В нулевом приближении распределение насыщенности удовлетворяет стационар­ному уравнению
dF/dl + д²Ф/д? = 0. (IV.84)
Это означает, что Еблизи выходного се­чения распределение насыщенности в ходе вытеснения квазистационарно. Граничные условия для уравнения (IV.84) определяются следующим образом: при ? = 0 выполняется условие (IV.82). При £ -> оо должно выполняться условие асимпто­тического сращивания с тем значением s, которое получается на границе x=L во внешнем приближении, т. е. в решении задачи Баклея—Леверетта s(—со,/) =sl(/), где Sl определяется из (IV.46) как s(L,t). Интегрируя уравнение (IV.84), получим распределение насыщенности вблизи х= L, удовлетворяющее граничным условиям при $ = 0 и $ = —оо (рис. 46).




5

Ф' (s) ds
F(s) — F(s_l)'

(IV.85)
Гидрофильная среда
Гидрофобная среда
Г Ф' (s) ds
J F(s) — F (s )
s, ^L
Отклонение распределения насыщенности вблизи выходного сечения от распределения, полученного без учета капиллярности и справедливого вне концевой области, называется капилляр­ным концевым эффектом.
Из формул (IV.85) следует, что распределение насыщенности после полного вытеснения нефти в гидрофобной и гидрофильной пористых средах различное, т. е. в зависимости от того, какая из фаз является более смачивающей.
Для гидрофильной среды при t-^co, s_L->s' амплитуда измене­ния насыщенности в интеграле (IV.85) стремится к нулю, и в пре­деле s = s* при всех х 0 < х < L, т. е. во всех точках, достигается предельная насыщенность. Если среда гидрофобна, то s_L -> s , а ниж­ним пределом в (IV.85) является s_t. Поэтому с ростом s_L интеграл стремится к конечному пределу для всех sL. Это означает,
что после полного вытеснения, т, е. после прокачки неограничен­ного объема воды, в гидрофобном образце остается конечный объем нефти с насыщенностью выше н еподвижной а = 1 — s*.
Перепишем интеграл (IV.85) для гидрофобной среды в размерных переменных
(IV.86)
Формула (IV.86) описывает стационарное распределение оста­точной нефти в образце. Из нее следует, что протяженность зоны концевого эффекта, т. е. зоны, содержащей остаточную нефть, обратно пропорциональна скорости вытеснения. Таким образом, конечная нефтеотдача гидрофобных сред возрастает с ростом скорости вытеснения, а нефтеотдача гидрофильных сред от ско­рости не зависит. Этот вывод был неоднократно подтвержден экспериментально.
Капиллярная пропитка. В неоднородных пластах возможны ситуации, когда при вытеснении несмешивающихся жидкостей влияние капиллярных сил на процесс вытеснения оказывается доминирующим. Важнейшим процессом подобного рода является капиллярная пропитка — самопроизвольное впиты­вание более смачивающей фазы в пористую среду, насыщенную другой фазой, без внешнего воздействия на какую-либо из жид­костей. Так обстоит дело, когда малопроницаемый блок породы, насыщенный нефтью, оказывается окруженным со всех сторон водой, продвигающейся по высокопроницаемым участкам. Тогда извлечение нефти из этого блока возможно лишь за счет капил­лярной пропитки. Для получения качественных оценок рассмотрим следующий идеализированный процесс. Пусть цилиндрический образец пористой среды первоначально заполнен менее смачива­ющей фазой. Боковые поверхности и один из торцов предпола­гаются непроницаемыми, а свободный торец в начальный момент приводится в соприкосновение со смачивающей жидкостью. В ре­зультате начнется процесс противоточной капиллярной пропитки, т. е. смачивающая фаза будет впитываться, а несмачивающая выходить через единственную открытую торцевую поверхность. Очевидно, впитывание будет происходить преимущественно по мелким порам, а выход несмачивающей фазы — по крупным.
Как показывают эксперименты по противоточной пропитке, проведенные на прозрачных образцах, фильтрация обеих фаз во встречных направлениях происходит равномерно по всему сече­нию, и каждая из фаз движется по своей системе поровых кана­лов. Противоточную пропитку поэтому можно рассматривать в рамках представлений, принятых для обычной одномерной двух­фазной фильтрации. Относительные проницаемости для противо­точного течения могут отличаться от соответствующих функций при однонаправленном течении обеих фаз. Однако в последу­ющем качественном исследовании это различие не учитывается.

Уравнение закона фильтрации будем записывать в виде (IV. 10) и использовать уравнение Рапопорта — Лиса (IV.77) при условии для противоточного течения:

	«о — M| -j- и2 — 0.	(IV.87)
что дает