Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

mdsjdt + dui/dx = 0, щ + и₂ = и (t). (IV.59)
Простые преобразования приводят к одному уравнению для s, если u(t) задано: ’
mds/dt -{- udF (s)/dx — Wd [f₂ (s) F (s)] Idx = 0, (IV.60)
где W = (kg(]x₂) (pi — p₂) sin a, щ = uF (s)—Wf₂(s)F (s).
Решение уравнения (IV.60) определяется интегрированием систе­мы уравнений характеристик
dx/dt = и (t) F' (s) — Wdf₂F/ds; s = const. (IV.61)
Если характеристики, определяемые уравнениями (IV.61), пере­секаются на плоскости х, t, для отыскания решения, имеющего физический смысл, нужно вводить скачки насыщенности. Условия
на скачках снова выражаются формулами (IV.36) и (IV.38), где вместо F (s) следует подставить функцию ф (s, t) = uF — ЦТ/гЕ.
Особый интерес представляет течение при условии u(t) = 0, что соответствует разделению фаз под действием силы тяжести (грави­тационная сегрегация). Если пласт неограничен по толщине, а жидко­сти вначале разделены резкой горизонтальной границей, причем более тяжелая жидкость находится сверху, т. е. s = I при х >0, s = О при х<0, решение уравнения (IV.60) при ы = 0 может быть запи­сано в виде
6 = xm/Wt = —d (f₂F) Ids. (IV.62)
Функция ij»(s) —fzF, типичный вид которой изображен на рис. 41, имеет две точки перегиба, что вызывает возникновение двух скачков, на которых должно выполняться условие
dxjdt = \с ~ [ф (s_c) ф (so)] / (s_c — So). (IV.63)
Для стационарного скачка должно выполняться условие, анало­гичное (IV. 19):
ф' (s_c) = [ф (s_c) — ф (So)] / (s— So). (IV.64)
Согласно этому условию, насыщенности s_ci и s_c2 находятся с по­мощью графического построения на плоскости ф, s, показанного на рис. 41. Соответствующая картина распространения скачков на плос­кости s, £ показана на рис. 42.
Предлагаем читателю самостоятельно исследовать движение, воз­никающее, когда при всех х >0 s(0, t) = si = const, s* < si < s*, граница x — 0 непроницаема, что соответствует сегрегации равномер­но распределенных фаз.
§ 3. Структура течения при мелкомасштабном описании. Стабилизированная зона. Капиллярные эффекты в пори­
стых средах.



РИС. 41. К построению ре­шения задачи о гравитацион­ной сегрегации на плоскости Ф (^s); h = s⁴; ^f2 = (1 +s) X X (1 — s)³; p₀ = 1, 0
Стабилизированная з о i птотическом описании вытеснения

а. При крупномасштабном асим- несмешивающихся жидкостей воз-

	Л / \
	1 \
	I \
	Г, ' 41 \
0,5 \ \	[/ ^SC2 1,0
\ \	/ 1
С

РИС. 42. Распределение на­сыщенности для автомодель­ного решения задачи о гра­витационной сегрегации





никают поверхности разрыва—скачки насыщенности. При решении полной системы уравнений (IV. 19) и (IV.20) им соответствуют узкие зоны с большими значениями |grads|. Для описания распределения насыщенности в переходной зоне, соответствующей скачку, введем в окрестности некоторой точки О поверхности разрыва насыщенности локальную декартову систему координат с центром в этой точке. Ось х направим по нормали к поверхности разрыва и введем вдоль этой оси масштаб I — еL, где, как и ранее, е = a²/u<>L (и₀ =kbp/\>.\L), т. е. полежим безразмерную координату X равной хЦ, сохранив У = y/L, Z = z/L. Масштаб времени примем равным (о = l/Uo = a²/ul и положим т = t/to = ult/a². Тогда система уравнений (IV. 19), (IV.20) при пренебрежении членами порядка е и выше сведется к следующей:
д [tp (s) д П /дХ] /дХ = 0, ср (s) д П /дХ — — ш (У, Z, т), (IV.65)
ds/dz (ш/т) F' (s) ds/dX — д² Ф (s) /дХ² = 0, ш = и/«₀. (IV.66)
Система уравнений двухфазной фильтрации свелась к одномерной ввиду того, что радиус кривизны поверхности разрыва, определяемый условиями внешнего течения, имеет порядок L и все вторые произ­водные по координатам У и Z входят в уравнения с коэффициентами, пропорциональными е, а производные по X — с коэффициентами порядка единицы.
В пределах переходной зоны, где течение можно считать одно­мерным, суммарная скорость ш фильтрации обеих фаз вдоль оси X не зависит от «быстрой» координаты X, а зависит только от «медлен­ных» переменных — времени т и координат на поверхности скачка У и Z. Изменение скорости ш происходит за времена порядка L/uq, т. е. большие в масштабе внутреннего разложения. Установление распределения насыщенности вдоль переходной зоны происходит за время t₀ = a²/ul, т. е. много быстрее, чем изменение скорости. Поэтому при асимптотическом исследовании течения в переходной зоне (внутреннее разложение) скорость ш можно считать постоянной, а распределение насыщенности — стационарным в координатах, свя­занных со скачком.
Уравнение (IV.66), описывающее одномерное вытеснение несмеши­вающихся жидкостей с учетом капиллярных сил, называется урав­нением Рапопорта — Лиса. Основное значение имеет его решение типа бегущей волны
s - s (С); С = X — у°х; У⁰ = V/u₀, (IV.67)
где V — скорость распространения скачка, определяемая из внешнего разложения. Именно это решение описывает распределение насыщен­ности поперек скачка, поскольку внутренняя структура скачка очень быстро приспосабливается к изменению внешних параметров. В силу большого различия масштабов / и L(/<L) должны выполняться граничные условий сращивания:
s(—co) = s- = s_c; s (+ оо) = s+ = so, (IV.68)
где s- = s_c и s+ = so — соответственно насыщенности за и перед скачком, определяемые из внешнего разложения. В задаче Баклея —
Леверетта они связаны соотношением (IV. 45). Скорость распростра­нения поверхности разрыва V⁰ в равенстве (IV.67), определяется формулой (IV.38).
Используя (IV.67), получим вместо (IV.66) уравнение
— mV°ds/d С + u>F' (s) ds/dQ — md [Ф' (s) ds/dQ/dC = 0. (IV.69)
Интегрируя уравнение (IV.69) по С с учетом условий (IV.68) и разрешая относительно dC/ds, имеем