Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

х* = X (t) exp (ifijy + t‘p₂z). (IV. 146)
Тогда нетрудно показать, что возмущение давления р’, удовле­творяющее уравнениям (IV. 141) и (IV. 142) и стремящееся к нулю при С-> ± со, должно выражаться в виде
Р*+ =Р ^т (0 exp (i^y + i%z ± PC). (IV. 147)
где р = "[/"р? + р₂. Возмущения скоростей фильтрации получаются из (IV. 147) и уравнения (IV. 141).
Используя условия (IV. 143)—(IV. 145) и исключая Р+ (t), по­лучим уравнение, описывающее изменение амплитуды произволь­ного синусоидального возмущения:
dXldt = —NfiX/m (s_c — s₀) (
^-1). (IV. 148) где
V = (1/<р_с— 1/cpo) uo + W (2~F₀ — F_C).
Решение уравнения (IV. 148) при условии X (0) = Х₀
X = Х₀ехр [— Nfit/m (s_c — s₀) (l/tp_e + 1/?о)]. (IV. 149)
Таким образом, если
N = (1/<р_е - 1/сро) «о + 07(2 —Fo — F_e) > 0, (IV. 150)
то начальные малые возмущения со временем затухают, в против­ном же случае возрастают. Поскольку в условие (IV. 150) не вхо­дит волновое число [3, то оно справедливо для малых начальных возмущений произвольной формы.
Условие устойчивости (IV. 150) получено без учета возмущений насыщенности. Можно показать, что малые возмущения насыщен­ности распространяются, не затухая и не разрастаясь, и поэтому не меняют вида условия устойчивости.
Величину &cp(s)/[A] принято называть подвижностью фильт­рующейся двухфазной жидкости, функцию ср (s) = /i (s) + н-о/г (s) — относительной подвижностью. Условие (IV. 150) означает, что при №=0 (без влияния силы тяжести) фронт вытеснения ус­тойчив, если подвижность вытесняющей жидкости за фронтом ср_с меньше, чем подвижность вытесняемой фазы впереди него. Если В7 > 0, т. е. плотность вытесняющей жидкости больше, чем вытес­няемой, а вытеснение происходит снизу вверх, то действие силы тяжести способствует стабилизации фронта, и наоборот. Условие (IV. 150) было получено впервые И. А. Чарным несколько иным путем.
Отношение подвижностей на скачке М’ = 90he зависит от вида кривых относительной проницаемости и отношения вязкостей фаз М = ц₂/[Ч = 1/ро- С ростом М отношение подвижностей М* также растет, но критическое значение А1* = 1 достигается при М = М_кр, обычно превышающем единицу.
Например, если относительные проницаемости имеют вид:
/_I(S) = (S-S.)2/(1-S.)²; /2 (5) = (s* — S)2/S*², _(1ул51)
(/i = 0 при S < s„, /₂ = 0 при S > s'), a So = s,, то из формулы (IV.45) нетрудно получить
= s, + (s - s.) (Af, + I)-»'*; AT = 2 [1 - (М, + 1)-'/*],
М, = Ms*²/(1 —- sj².
Заметим, что если s* =1 —s,, то = М. Отношение подвиж­ностей М* равно единице при Мi = 3. Таким образом, для квадра­тичных относительных проницаемостей вытеснение устойчиво при ЛТ! < 3 и неустойчиво при Af 1 > 3.
Если относительные проницаемости выражаются в виде куби­ческих функций соответствующих насыщенностей, то критическое значение отношения вязкости составляет около 9,8, а если в ви­де четвертых степеней — то около 18,3.
2. Условие устойчивости (IV. 150) было получено без учета капиллярных сил. Капиллярные силы, обладающие диссипативным действием на распределение насыщенности, способствуют стаби­лизации фронта вытеснения. Точное исследование их влияния на устойчивость аналитическим путем провести не удается. Здесь даны результаты асимптотического исследования при принятом выше условии, что длина волны возмущения велика по сравне­нию с протяженностью переходной (стабилизированной) зоны.
Действие капиллярных сил в таком приближении учитывается в граничных условиях на скачке.
Чтобы избежать громоздких выкладок, рассмотрим течение без учета сил гравитации, описываемое системами уравнений (IV. 19) и (IV.20). Второе из этих уравнений запишем в виде
mds/dt + F' (s) (и grad s) — а²тАФ (s) = 0. (IV. 152)
Пусть невозмущенное движение направлено вдоль оси х и опи сывается (IV. 136)—(IV. 138).
При этом положим = 0, откуда ^(s)=/^?(s). Определим воз­мущения скоростей и давления формулами (IV. 139). В линейном приближении относительно в возмущения по обе стороны фронта удовлетворяют уравнениям (IV.141) и (IV.142). Чтобы получить для них граничные условия, проинтегрируем уравнения (IV. 19) и (IV.152) по х вдоль переходной зоны, считая, что граница раз­дела слабо искривлена. При этом пренебрегаем членами порядка ширины зоны и квадратами производных по у и г. Переходя в полученных выражениях к возмущениям, снова получим условия (IV.144) и (IV. 145). Однако вместо (IV. 143) из уравнения (IV.152) следует
dx*/dt — u’V/uo — а² [(Ф_с — o)/(s_c — s₀)] (д²х‘/ду² + d²x*/dz²) = 0
(Ф_с = Ф (Sc), Фо = Ф (so)). (IV. 153)
х" и р"~ по-прежнему выражаются формулами (IV. 146) и (IV. 147). Условия (IV.144), (IV. 145) при W — 0 и (IV. 153) приводят к сле­дующему уравнению для X (t):
dX/dt + рх [V (1 — АГ)/( 1 + ЛГ) + а²|3 (Ф_с — Ф₀)/(? — so)] = 0.
(IV. 154)
Из уравнения (IV. 154) следует условие устойчивости
V (1 - ЛГ)/( 1 + ЛГ) + а²р (Ф_с - Ф_с)/(* - so) > 0. (IV. 155)
Условие (IV. 155) совпадает с (IV. 150), если отсутствуют капил­лярные и гравитационные силы. При > 1, когда без воздейст­вия капиллярных сил фронт скачка неустойчив, они обеспечивают устойчивость возмущений, длина волны которых меньше критиче­ского значения Х_с, определяемого, в соответствии с условием (IV. 155), формулой
К = 2*/|З_с = [2«а² (Ф_£ - Фс)/У (s_c - so)] (AT + 1 )/(М⁹ — 1). (IV. 156)
Вывод условия (IV. 155) и формулы (IV. 156) был сделан в пред­положении, что ширина переходной зоны много меньше длины волны возмущения. Согласно результатам, изложенным в § 3 на­стоящей главы, протяженность стабилизированной переходной зоны 8/, пропорциональна a²/V. Поэтому предположение к_с 8/ выпол­няется только при М*, близком к единице, т. е. лишь вблизи гра­ницы устойчивости по параметру М*. В общем же случае крити­ческая длина волны возмущения Х_с, разделяющая области устойчи­вого и неустойчивого вытеснения, является функцией параметров а², V и Л4 = [12/щ. Из соображений размерности следует
■к_с = аЦ{М)1У. (IV. 157)
Вид функции <|> (М) может быть получен в результате числен­ного исследования [14].
На устойчивость фронта вытеснения влияют и неравновесные эффекты описанные в предыдущем параграфе. Они оказывают стабилизирующее влияние на мелкомасштабные (коротковолно­вые) возмущения в гетерогенных средах.
Нелинейная стадия развития неустойчивости. Приведенный нелинейный анализ устойчивости указывает на воз­можность возникновения экспоненциально разрастающихся при малых временах искажений фронта вытеснения (скачка) при нару­шении условия (IV. 150) или (IV. 155). Дальнейшее развитие воз­мущений фронта может быть исследовано методами физического или численного моделироваия.
Экспериментальные исследования, проведенные в 1950— 1960 гг. Саффманом и Тейлором, Чуоком и другими, показали, что развитие возмущений плоского фронта вытеснения в пористой среде при нарушении устойчивости происходит в виде неограни­ченно разрастающихся «языков обводнения». Эксперименты Б. Е. Кисиленко на насыпных пористых средах показали, что на­рушение устойчивости происходит при отношении вязкости нефти и воды, превышающем критическое значение Л4_кр, находящееся в пределах 10—15. В то же время при малых скоростях вытеснения возмущения затухают даже при отношениях вязкостей больших критического, что согласуется с условием (IV.155).
Искажение фронта вытеснения нефти водой приводит к сни­жению нефтеотдачи и росту обводненности, что обусловливает практическую важность изучения неустойчивости вытеснения.
Единственным методом теоретического исследования нелиней­ного развития возмущений при нарушении устойчивости остается численное моделирование, начатое в работах Рэчфорда и позже М. И. Швидлера, Р. М. Кацг.П. В. Индельмана. __
Приведем некоторые результаты численных расчетов неустойчи­вого вытеснения, выполненых В. М. Битовым и В. Б. Таранчуком.
Моделировалось вытеснение без учета капиллярных и гравита­ционных сил в плоской прямолинейной области между двумя гале­реями с заданным расходом д₀ на входной галерее х = 0. Относи­тельные проницаемости задавались в виде (IV. 151) при s,= 0, s*= 1, чему соответствует критическое отношение вязкостей М_Кр — 3.
На входе формировалось малое синусоидальное возмущение фронта с амплитудой хо и длиной волны L, а затем прослеживалась его эволюция. Было установлено, что справедливо условие устой­чивости (IV. 150), т. е. при М< 3 амплитуда возмущений фронта
со временем затухает, при М > 3 растет, при М = 0 — со временем не меняется.
На основе численного моделирования была получена зависи­мость относительной амплитуды фронта скачка X/L(L — длина волны возмущения) от безразмерного времени т = tp_tk/m\).\L², где /?. — давление во входной галерее. Расход q₀ выбирался таким, что qo^\Llkp_t = 0,3. Соответствующие зависимости Z = In (X/L) от т при различных значениях параметров приведены на рис. 50.
Для кривых 1 и 2 начальные амплитуды Х₀ = 0,051 (при т = 2), для кривых 3 и 4 Хо = 0, 1L.
На рис. 50 видно, что на начальном участке зависимость Z(x) прямолинейна, что согласуется с формулой (IV. 150). Угловой коэф­фициент прямой Z(z) согласно формуле (IV. 150) при М = 10 со­ставляет 0,357, при М = 7 — 0,244, а при численном моделировании соответственно 0,345 и 0,249. Предсказываемый линейной теорией экспоненциальный закон роста возмущений оказывается справед­ливым даже для возмущений, амплитуда которых сопоставима с длиной волны. Однако при достаточно больших возмущениях экс­поненциальный закон роста нарушается.
В тех случаях, когда амплитуда возмущения сравнима с дли­ной волны или больше нее (кривые 3 и 4 на рис. 50), заметно по­степенное снижение ускорения роста возмущений и переход к режи­му их равномерного роста. Этот режим соответствует изученному Саффманом и Тейлором стационарному движению языков боль­шой протяженности относительно окружающей их вытесняемой жидкости.
Процесс вытеснения после потери устойчивости, по крайней мере, при одномерной фильтрации, происходит в виде хаотически расположенных языков. Для упрощенного описания такого процес­са сделаем следующие предположения: во-первых, протяженность

РИС. 50. Зависимость протяженности «языков» от безразмерного времени: 1 и 3 — М = 10; 2 и 4—
М = 7