Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

3.2.3.1. Редукция понятия равносильных формул 
алгебры высказываний 

Необходимость редукции понятия равносильных формул посто- 
янно возникает при обучении электротехнике (анализу и синтезу элек- 

186 

трических цепей), радиотехнике, а также при изучении дисциплин, 
так или иначе связанных с автоматизацией технологических процес- 

Приведем типичный пример изложения в учебной литературе 
этого понятия, играющего важную роль в конструировании разного 

лежит в основе конструирования автоматически работающих техни- 
ческих устройств. 

ределение понятия равносильных формул: «две логические формулы 
A = f1(x1, x2, …, xn) и B = f2(x1, x2, …, xn) называют равносильными 

с. 136]. При этом строки, на которых функция f (x1, x2, …, xn) прини- 
мает значение 1, названы единичными наборами, остальные строки – 

Не умаляя методических достоинств этого и другого аналогич- 
ного определения равносильных формул, предложим следующую ме- 

В начале при необходимости следует использовать методику из- 
ложения понятия высказывания, логического умножения, сложения 

алгебры высказываний, доказательства логических тождеств и тожде- 
ственных преобразований логических выражений из учебного посо- 

В этом случае следует продолжить обозначать операции конъ- 
юнкции ∧ и дизъюнкции ∨ символами «·» и «+» соответственно, на- 

облегчения восприятия символы 0, 1 будут иметь следующее логиче- 
ское выражение: соответственно u («истина»), и л («ложь»). 

риант изложения методической редукции рассматриваемого понятия. 

В алгебре принято равенства, справедливые при любых значе- 

187 

дествами являются формулы сокращенного умножения. Равенство 
(a + b) = a + b тождеством не является, поскольку оно неверно, на- 

Рассмотрим логические равенства A + B ≡ B + A, (A + B) · C ≡ 
≡ A · C + B · C, А

пользованием заглавных букв. Поэтому, например, легко распознает- 
ся алгебраическое равенство a + b = b + a и логическое равенство 

логическими равенствами, в которых на месте знака ≡ ранее записы- 
вался обычный знак равенства =. 

+B ≡ A · B значения A ≡ л, 
В ≡ u. Тогда получим, что истина равна лжи (u ≡ л), что неверно. 

значениях входящих в него букв, называется логическим тождеством. 

Левая и правая часть логического равенства A ≡ B образована 

носильными. 

f1(x1, x2, …, xn) + f2(x1, x2, …, xn) ≡ f2(x1, x2, …, xn) + f1(x1, x2, …, xn) 

есть логическое тождество. Например, такое тождество имеем при 

A = f1(x1, x2) = x1 + x1x2 и B = f2(x1, x2) = x1x2 + x1. 

Справедливы алгебраические тождества a + 0 = a, a · 0 = 0, a · 1 = a, 

в записи которых имеются числа 0, 1. В свою очередь, справедливы 

си которых есть символы u, л, являющиеся значениями логических вы- 
ражений. Приведем список логических тождеств, важных для упро- 

Основные тождества: 

≡ л, А + А
A  ≡ А
A  – отрицание А

188 

Свойства символов и, л: 
u ≡ л, л ≡ u, А + u ≡ u, 

А + л ≡ А, А · u ≡ А, А · л ≡ л. 

Законы идемпотентности: 
А · A ≡ А; А + A ≡ А. 

Переместительные законы: 
А + B ≡ B + А, А · B ≡ B · А. 

Сочетательные законы: 

Распределительный закон: (А + B) · C ≡ А · C + B · C. 

Законы поглощения: 

Закон замены логического следования: 
А → B ≡ А

Для доказательства логического тождества достаточно подста- 
вить в него все возможные наборы значений входящих в него букв 

дует прежде всего применить перечисленные выше логические тож- 
дества. 

Пример. Доказать тождество (A · B) · А

Доказательство. Обозначим левую часть тождества через T: 
T ≡ (A · B) · А

· (A · B) + (А + B). На основании сочетательного закона T ≡ ( А

· A) · B + (А + B). По переместительному закону А

этому T ≡ (A · А

T ≡ (А + B) + л. Тогда из свойства символов А + л ≡ А получаем, что 
T ≡ А + B. 

189 

Обычно такие преобразования записывают в сокращенном виде 
без ссылок на используемые законы: 

· (A · B) + (А + B) ≡ ( А

л · B + (А + B) ≡ л + (А + B) ≡ (А + B) + л ≡ А + B. 

При необходимости можно продолжить изучение понятия равно- 

сильных формул на основе учебного пособия Л. К. Конышевой [96]. 

дующий прием, упрощающий вычисление значений логических вы- 
ражений. Для этого заменяем символы u, л снова на символы 0,1 и со- 

курса математики начальной школы. Например, 0 · 1 = 0, 0 + 1 = 1 
и т. д. Но есть только одно изменение, а именно, вместо 1 + 1 = 2 сей- 

ния, не изучаемая в начальной школе и выполняемая так: 0

1 
= 0. Тогда, например, T ≡ (А · B) · А

ко вычисляется так: 

T ≡ (А · B) · А
+ (0 + 1) = (0 · 1) · 1 + (0 + 1) = 0 · 1 + 1 = 1. 

Для облегчения восприятия здесь знак логического умножения 

заменен на знак умножения, используемый в школе, что в данном слу- 

даря тождеству А + 1 = 1 легко было сосчитать ответ, даже не восполь- 

зовавшись ранее доказанным тождеством (А · B) · А