Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

a b

c


d

Рис. 3.17 Рис. 3.18 Рис. 3.19 Рис. 3.20 Рис. 3.21 

a b

c
d

Рис. 3.22 

Рис. 3.23 

Рис. 3.24 

Очевидно, при передаче радиосигнала расположение устройств 

и расстояние между ними безразлично, поэтому можно не учитывать 

их обозначение на схеме. Следовательно, можно указать только две 

схемы, принципиально отличающиеся друг от друга: схема последо- 

вательной передачи сигнала (рис. 3.25) и схема передачи сигнала че- 

рез одно и то же устройство (рис. 3.26). 

Граф А 
Граф B 

Рис. 3.25 
Рис. 3.26 

Ясно, что графы отличаются друг от друга как числом вершин, 

так и числом ребер. Но кроме того, они могут отличаться расположе- 

нием ребер, как, например, графы на рис. 3.13–3.14. Однако среди 

всех этих графов имеются одинаковые, или равные, графы, так же как 

и имеются, например, одинаковые, или равные, треугольники. Какие 

же графы считаются равными? 

192 

Для ответа на этот вопрос рассмотрим произвольный граф с n 

вершинами. Пронумеруем его вершины числами от 1 до n (см., на- 

пример, граф A на рис. 3.25, для которого n = 4). Ребро графа, соеди- 

няющее вершины i, j, обозначим (i, j) в случае i < j. Если же i > j, то 

обозначим ребро (j, i). Например, у графа A ребро, соединяющее вер- 

шины 2 и 3, обозначим (2, 3), а не (3, 2), поскольку 2 < 3. Тогда каж- 

дому ребру (i, j) графа соответствует точка (i, j) на координатной 

плоскости Oxy. Так, трем ребрам (1, 2), (2, 3), (3, 4) графа A соответ- 

ствуют три точки (1, 2), (2, 3), (3, 4) (рис. 3.27). Таким образом, с по- 

мощью этих точек можно записать всю информацию о ребрах: число 

ребер и вершины, которые соединяет каждое ребро. 

Рассмотрим графы Г1 и Г2 с одинаковым числом вершин и ре- 

бер, изображенные на рис. 3.28. Можно ли пронумеровать вершины 

каждого графа так, чтобы ребрам графа Г1 и графа Г2 соответствовало 

одно множество точек на координатной плоскости Oxy? 

y

4
(3,4)

3

(2,3)

2
(1,2)

1

0

1 2 3


x

Рис. 3.27 

Рис. 3.28 

Ответ на этот вопрос утвердительный. На рис. 3.30 показано, 

как пронумеровать вершины каждого графа, а на рис. 3.29 изображе- 

ны точки, соответствующие ребрам каждого из графов. 

Определение. Графы Г и G с одинаковым числом элементов на- 

зываются равными, если вершины каждого графа можно пронумеро- 

вать так, чтобы ребрам Г и ребрам G соответствовало одно и то же мно- 

жество точек на координатной плоскости. 

Неравные графы еще называются различными графами. 

193 

y

5

4

3

2

1

0
1
2
3
4
x

Рис. 3.29 

Рис. 3.30 

Согласно определению изображенные на рис. 3.30 графы Г1 и Г2 

являются равными. Легко проверить, что графы A, B на рис. 3.25 и 3.26 

не являются равными. Все графы, изображенные на рис. 3.13–3.24, 

делятся на графы, равные графу A, и графы, равные графу B. 

3.2.4. Методические особенности обучения 
дискретной математике в магистратуре 

В общенаучном цикле ФГОС ВПО подготовки магистров про- 

фессионального обучения [265] были указаны дисциплины «История 

и методология науки», «Методология научного творчества» и «Мате- 

матическое моделирование в профессиональном образовании», иг- 

рающие фундаментальную роль в формировании умений решать важ- 

ные задачи в профессиональной деятельности. Например, «организо- 

вывать научно-исследовательскую работу в образовательном учреж- 

дении» [265, c. 5]. 

В формировании этих умений важное значение имеют характер- 

ные особенности процесса математизации наук, т. е. процесса про- 

никновения идей и методов математики практически во все области 

научного знания. Процесс математизации наук наиболее ярко вопло- 

тился в современной модельной методологии, основные особенности 

которой охарактеризованы в подп. 1.4.1.1. Как было отмечено, в рам- 

194 

ках модельной методологии осуществляются следующие операции: 
постановка возникающих задач, их перевод на адекватный научный 

явлений (в частности, корректная формализация описания их свойств 
и характеристик) и эффективных алгоритмов и компьютерных программ 

математическое моделирование на основе дискретных и непрерывных 
моделей, а также использование в нем СКМ и КТ имеют фундамен- 

в истории и методологии науки, методологии научного творчества 
и математическом моделировании в профессиональном образовании 

Наличие перечисленных выше дисциплин в ФГОС ВПО [265] 
свидетельствовало о важности сформулированных главных целей обу- 

ровании ряда общекультурных и профессиональных компетенций ма- 
гистров. Это подтверждается и новым ФГОС ВО их подготовки, где 

собности к научно-исследовательской деятельности (см., например, 
компетенции ОПК-3, ПК-12, ПК-14, ПК-31 и др.) [258]. 

фундаментализация обучения, в том числе и математике, т. е. его на- 
правленность на создание цельного, обобщающего знания, которое 

объединяющим эти знания в единую мировоззренческую систему. 
Анализ предмета и функций дискретной математики показыва- 

лагает изучение языка доминирующих в ней алгебраических, поряд- 
ковых структур и логических, алгоритмических, комбинаторных схем 

этих структур и схем играет фундаментальную роль в качественном 
анализе сложных проблем математического моделирования, в систе- 

195 

туризации, представлении имеющихся знаний в виде, удобном для 
последующего анализа как «вручную», так и с использованием со- 

рующих в ДМ структур и схем должно быть нацелено на реализацию 
положения о единстве в обучении математике и раскрытие ее внут- 

тематической интеграции обучения магистров. 

математике в системе «школа – колледж – вуз» [131, 166]. Естествен- 
но, главную роль в организации такого обучения сыграют будущие 

для обеспечения преемственности вариативного обучения ДМ важно 
отразить специфику содержания изучаемой дисциплины в той области 

ники колледжа (техникума) (см. подп. 2.6.2). Кроме того, изучение 
основных понятий и методов дискретной математики предусмотрено 
в целом ряде стандартов среднего профессионального образования 

тические системы управления» и др.). 

стров необходимо выбрать базовые понятия языка структур и схем, ко- 
торые должны стать своеобразными «маяками» (см. подп. 2.1.4). Обяза- 

ет своеобразный «стандарт» вариативного обучения, свидетельствую- 
щий о фундаментальном, опережающем практику обучении математи- 

исследуемого технологического объекта или явления. 

стров должны присутствовать интегрированные программы и курсы, 
содержание которых должно отражать межпредметные связи ДМ 

тики, выражающими специфику выбранной отрасли подготовки. Та- 
кие методически ориентированные программы и курсы необходимы 

196 

для совершенствования содержания методической подготовки маги- 
стров, которое в противном случае может остаться «методическим ком- 

циалистов в других областях (естественнонаучных, инженерных и др.). 
При разработке содержания интегрированных программ и кур- 

го обучения в колледжах (техникумах) и вузах, где планируют рабо- 
тать магистры, должна быть учтена сложившаяся в образовательной 

программ и курсов в учебный процесс, что будет способствовать 
фундаментальному, опережающему практику обучению. 

которые могут возникнуть в ходе обучения по этим программам и кур- 
сам. Для этого необходимо создание гибкого программно-методиче- 

нологию интегрированного представления информации и знаний с ис- 
пользованием систем гипермедиа, мультимедиа, электронных книг и др. 

вестные педагогические программные средства, способствуя тем са- 
мым использованию средств информационных и коммуникационных 

обучении магистров. 

обучения является метод учебных проектов, основанный на исследо- 
вательской деятельности студентов по решению задач из выбранной 

тики, это, в свою очередь, позволит расширить возможности препода- 
вателей в формировании научно-исследовательских умений магистров. 

образовательных маршрутов обучаемых. 

профессионального обучения в технических отраслях производства 
разработаны учебные пособия [4, 45, 108, 231], полезны будут также 

197