Ə. A. Quliyev

b

a,

 

vektorları  arasındakı  bucaq  sıfra  bərabərdir  və  227-dəki  (3) 

 

295 

şərtinə  görə  alırıq  ki, 

b

a

=

,  yəni 

1

1

1

,

,

+

+

+

=

=

=

n

n

n

n

n

n

z

z

y

y

x

x

, 

buradan isə sistemin yeganə həlli (1; 1; 1) –dir.  

233.  Aşkardır  ki, 

(

)

0

;

0

;

0

 

sistemin  həllidir.  Fərz  edək  ki, 

0

;

0

;

0

≠

≠

≠

z

y

x

.  Onda  sistemin  I  və  III  tənliklərinin  hər  birini 

a

z

y

x

−

2

2

2

,  II  isə 

xyz

-

ə  bölüb 













=

+

+

=

+

+

=

+

+

3

3

3

4

4

4

3

3

3

2

2

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

alırıq.  Bu 

sistemin isə həlli 

(

)

1

;

1

;

1

-dir. (232-

yə baxmalı, 

1

=

n

) 

234. 

2

cos

1

2

sin

2

t

t

−

=

 

düsturundan  istifadə  edərək  sistemin 

birinci 

tənliyini 

3

cos

cos

cos

=

−

−

−

z

y

x

, 

6

cos

1

cos

1

cos

1

=

−

+

−

+

−

z

y

x

, 

3

2

cos

1

2

cos

1

2

cos

1

=

−

+

−

+

−

z

y

x

 

3

2

sin

2

sin

2

sin

2

2

2

=

+

+

z

y

x

  

şəkildə yazaq. Sistemin ikinci tənliyini dəyişməyib, nəhayət üçüncünü 

sadələşdirək: 

9

cos

2

cos

cos

2

cos

cos

2

cos

2

2

2

=

−

+

−

+

−

z

z

y

y

x

x

; 

12

cos

cos

2

1

cos

cos

2

1

cos

cos

2

1

2

2

2

=

+

−

+

+

−

+

+

−

z

z

y

y

x

x

; 

(

) (

) (

)

3

4

cos

1

4

cos

1

4

cos

1

2

2

2

=

−

+

−

+

−

z

y

x

, 

3

2

sin

2

sin

2

sin

4

4

4

=

+

+

z

y

x

 

Beləliklə, 



















=

+

+

=

+

+

=

+

+

.

3

2

sin

2

sin

2

sin

3

2

sin

2

sin

2

sin

3

2

sin

2

sin

2

sin

4

4

4

3

3

3

2

2

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 

296 

232-

dəki  tənliklər  sisteminin  xüsusi  halı  olan  (n=1,  dəyişənlər 

2

sin

,

2

sin

,

2

sin

z

y

x

)  sistem  alınır.  Deməli 

1

2

sin

2

sin

2

sin

=

=

=

z

y

x

, 

buradan 

m

z

k

y

n

x

π

π

π

π

π

π

2

2

2

,

2

2

2

,

2

2

2

+

=

+

=

+

=

, 

n

x

π

π

4

+

=

, 

,

4 k

y

π

π

+

=

m

z

π

π

4

+

=

, burada  

Z

m

k

n

∈

,

,

. 

Deməli 

baxılan 

sistemin 

həlli 

(

) (

) (

)

(

)

1

4

;

1

4

;

1

4

+

+

+

m

k

n

π

π

π

 dir.  

235. Verilmiş sistemin birinci iki tənliyinin həlli yalnız 













3

1

;

3

1

;

3

1

 

üçlüyü  olduğundan  (227-yə  baxmalı)  bunun  üçüncü  tənliyin  də  həlli 

olduğunu  yoxlamaq  kifayətdir.  Yoxlama  ilə  müəyyən  edirik  ki, 













3

1

;

3

1

;

3

1

 

sistemin üçüncü tənliyinin də həllidir. 

236. 

(

)

z

y

x

a

2

;

2

;

2

, 

( )

1

;

1

;

1

b

 

vektorlarına  baxaq.  Onda 

6

2

2

2

=

+

+

=

⋅

z

y

x

b

a

 

və 

( ) ( ) ( )

3

2

4

4

4

2

2

2

2

2

2

=

+

+

=

+

+

=

z

y

x

z

y

x

a

, 

3

1

1

1

=

+

+

=

b

,  deməli 

b

a

b

a

=

⋅

. 227-

ci  məsələnin  həlli  ilə 

əlaqədar  göstərilən  (3)  şərtinə  əsasən 

1

2

1

2

1

2

z

y

x

=

=

, buradan 

z

y

x

=

=

.  Onda  sistemin  birinci  tənliyindən 

6

2

2

2

=

+

+

x

x

x

, 

2

2

=

x

, 

1

=

x

.  

Beləliklə, 

1

,

1

=

= z

y

. 

( )

1

;

1

;

1

 

üçlüyü  sistemin  üçüncü  tənliyinin 

və sistemin həllidir. 

Vektorun  tətbiqilə  tənliklər  sistemi  həllinin  aşağıdakı  ümumi 

sxemini bilmək lazımdır. 

1) 

a

 

və 

b

 

vektorlarının daxil edilməsi 

2) 

a

  , 

b

 

vektorlarının  modulunu  və  onların  skalyar hasilini 

hesablamaq. 

3)  227  məsələsinin  həlli  ilə  əlaqədar  göstərilən  (1)  və  (2) 

münasibətləri ilə şərtin ödənildiyini yoxlamaq. 

 

297 

4) yenə 227-də göstərilən (3) şərti ödənilirsə, onda 

b

a

λ

=

. 

5)  Cavabın  yoxlanılması  və  yazılması.  Bu  sxem  əsasında  xətti 

olmay

an  tənliklər  sisteminin  vektorların  skalyarhasilinin  tətbiqi  ilə 

həllinin bir ümumi metodunu şagirdlər öyrənirlər. 

237.  Bu  sistemin  mühüm  xüsusiyyəti  ondan  ibarətdir  ki, 

z

y

x

,

,

 

dəyişənlərini  

 

dövrü  əvəz  etdikdə  yalnız  tənliklərin  yerinin 

dəyişməsindən başqa sözlə  

verilmiş  sistemlə  eyni  olan 













=

−

+

−

=

−

+

−

=

−

+

−

0

27

27

9

0

27

27

9

0

27

27

9

2

3

2

3

2

3

y

y

x

x

x

z

z

z

y

 

tənliklər 

sistemi  alınır.  Odur  ki,  belə  sistemə  dövrü  sistem  deyilir.  Dövrü 

sistemlərin müxtəlif həll üsulları vardır. Bunlardan biri verilən sistemi 

həll  etmək  üçün  bütün  dəyişənləri  eyni 

t

z

y

x

=

=

=

  gö

türməkdir. 

Onda  sistemin  cırlaşmış  tənliyi  adlanan 

0

27

27

9

2

3

=

−

+

−

t

t

t

 

tənliyini  alırıq.  Buradan 

(

)

0

3

3

=

−

t

 

və 

3

=

t

 

tapırıq.  Odur  ki, 

3

,

3

,

3

=

=

=

z

y

x

 

verilmiş sistemin yeganə həllidir. Bu həllin yeganə 

olduğunu göstərək.  Bunun  üçün  əksini  fərz  etmə  metodundan  istifadə 

edək.  Fərz  edək  ki, 

(

)

c

b

a ;

;

 

tapılandan  fərqli  hər  hansı  həldir. 

c

z

b

y

a

x

=

=

=

,

,

 

olduqda verilmiş sistemdən alınan tənliklərin sol və 

sağ  tərəflərini  toplayıb 

(

) (

) (

)

0

3

3

3

3

3

3

=

−

+

−

+

−

c

b

a

 

(1)  alırıq. 

Yeni sistemə daxil olan tənliklərin hər birini isə 

3

2

27

27

9

+

−

=

b

b

a

, 

27

27

9

2

+

−

=

c

c

b

, 

27

27

9

2

+

−

=

a

a

c

  kimi yazmaq olar. 

Qeyd 

edək 

ki, 

( )













=

≥

+

−

=

2

3

4

27

27

27

9

2

g

t

t

t

g

, 

( )

3

3

4

3

≥

=

b

g

a

, 

( )

3

3

4

3

≥

=

c

g

b

, 

( )

4

3

3

≥

=

a

g

c

. 

z 

x 

y 

 

298 

Fərziyyəyə  görə 

(

)

c

b

a ;

;

 

həlli 

(

)

3

;

3

;

3

-

dən  fərqlidir, odur ki, 

c

b

a ,

,

 

ədədlərindən  heç  olmasa  biri  3-ə  bərabər  deyil.  Fərz  edək  ki, 

3

≠

a

. Onda 













∈

3

;

4

3

3

a

 

isə,  onda 

( )

t

g

 

funksiyasının  bu  aralıqda 

monotonluğunu 

bilərək 

( )

( )

3

3

3

3

=

<

=

g

a

g

c

 

və 

( )

( )

3

3

3

3

=

<

=

g

c

g

b

 

alırıq. Lakin 

c

b

a ,

,

-

in belə qiymətlərində (1) 

bərabərliyi ödənə bilməz. Beləliklə, 

3

<

a

 

ola bilməz. 

3

>

a

 is

ə, onda 

( )

( )

3

3

3

3

=

>

=

g

a

g

c

, 

( )

( )

3

3

3

3

=

>

=

g

c

g

b

. 

Yenə 

(1) 

bərabərliyi ödənilmir. Odur ki, 

(

)

3

;

3

;

3

 

sistemin yeganə həllidir.  

238.  Göründüyü  kimi  əvvəlki  sistem  kimi 







=

−

=

−

y

x

y

x

y

x

sin

sin

-

də 

dövrü sistemdir. Odur ki, 

t

y

x

=

=

  olarsa onda sistemin 

0

sin

=

t

 

cırlaşmış tənliyi alınır. Bu tənliyin həlli 

Z

n

n

∈

,

π

 

ədədi olduğundan 

(

)

n

n

π

π

;

 

baxılan sistemin həllidir. Göstərək ki, bu sistemin başqa həlli 

yoxdur.  Fərz  edək  ki, 

b

y

a

x

=

= ,

 

sistemin  həllidir,  həm  də 

b

a

≠

. 

Onda bu qiyməti sistemin tənliklərində yerinə yazıb, birinci tənliyin  

hədlərindən ikinci tənliyin hədlərini çıxıb  

(

)

2

cos

2

sin

sin

sin

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

+

−

=

−

⇔

−

=

−

 

alırıq. 

2

2

sin

b

a

b

a

−

≤

−

 

və 

1

2

cos

≤

+ b

a

 

olduğundan,  sonuncu 

bərabərsizlikdən  fərziyyəmizin  əksinə  olan 

2

b

a

b

a

−

≤

−

 

alınır.  Bu 

da onu göstərir ki, verilmiş sistemin həlli yalnız 

(

)

Z

n

n

n

∈

,

;

π

π

 dir.  

239. Sistemin 

( )

( )( )

7

4

2

1

1

1

1

t

t

t

t

+

=

+

+

+

 

cırlaşmış  tənliyindən 

(237, 238-

ə baxmalı). Onun iki 

1

1

−

=

t

 

və 

0

2

=

t

 

həllini alırıq. Bu isə 

sistemin (-1;  -

1)  və  (0;  0)  həllərinə  uyğundur.  Göstərək  ki,  baxılan 

sistemin  başqa  həlli  yoxdur.  Fərz  edək  ki, 

( )

y

x;

 

verilmiş  sistemin 

həllidir  və 

1

−

≠

x

, 

0

≠

x

. 

0

>

x

 

isə,  onda  əvvəlcə  birinci  tənlikdən 

 

299 

x

y

>

,  sonra  isə  ikinci  tənlikdən 

y

x

>

−

 

alırıq,  bu  isə  ola  bilməz. 

0

1

<

<

−

x

 

halına  da  baxaq. 

0

1

>

+ x

 

və 

(

)

0

1

<

+ x

x

 

olduğundan 

əvvəl  birinci  tənlikdən 

1

0

1

7

−

>

⇔

>

+

y

y

,  sonra  isə 

(

)

(

)(

)

+

=

+

+

+

7

4

2

1

1

1

x

x

x

x

  

(

)

(

)

7

4

2

1

1

x

x

x

x

x

<

+

+

+

+

 

olduğunu 

nəzərə almaqla 

x

y

x

y

<

⇔

<

7

7

 

bərabərsizliyini alırıq. 

0

1

<

<

−

y

 

olduğundan,  sistemin  ikinci  tənliyindən,  əvvəlki  mühakiməni  təkrar 

etməklə 

7

7

x

y

>

 

ziddiyyətinə gəlirik. Analoji olaraq 

1

−

<

x

  olduqda 

da ziddiyyət alınır. Beləliklə, verilmiş sistemin həlli yalnız (-1; -1), (0; 

0)-dir. 

 

240. Əvvəlcə ümumiləşdirməyə baxaq. Belə tənliklərin ümumi 

şəkli 

( )

( ) ( )

A

x

x

=

ϕ

ϕ

 -dir, burada 

( )

x

ϕ

 

hər hansı funksiyadır. Məktəb 

riyaziyyat kursunda ayrıca belə mövzu olmasa da ali məktəblərə qəbul