E. rasulov, U. Begimqulov


Download 11.27 Mb.
Pdf ko'rish
bet27/39
Sana07.07.2020
Hajmi11.27 Mb.
#106714
1   ...   23   24   25   26   27   28   29   30   ...   39

ífflcíPx. Py.  Pz, í f  • dfí,dp^dR  = 
y. z, tfd x d y d
(
11
.
22
)
(11.23)
tenglikni  hosil  bo'lishini  isbotlash  mumkin.  (11.23)  ifodaning  chap 
qismi  zarra  impulsini  istalgan  qiymatini  topish  ehtimolini,  o'ngdagi 
ifoda  esa  fazoning  istalgan  nuqtasida  zarra  o'rnini  topish  ehtimolini 
xarakterlaydi.
11.6. Kvant nazariyaning xossalari
To'Idirish  prinsipi  va  o'lchash  jarayonlarni  Bor  talqinidan  kvant 
nazariyaning  xossalari  kelib  chiqadi.

i i è v i
Л
i
K V A N T   F I Z I K A S I
1.  Kvant  mexanika  bir  qiymatli  javobni  karomat  qilmaydi,  balki 
faqat  u  yoki  bu  natijaning  ehtimolini  ayta  oladi.  Tirqishli  to'siqqa  tu­
shayotgan  zarraning  holatini  qancha  aniq  bilmaylik,  to'siq  ortiga 
qo'yilgan  fotoplastinkani  qaysi  nuqtasiga  uni  kelib  tushishini  aytib 
berib  bo'lmaydi.  Bu  noaniqlik  klassik  determinizmga  ziddir.  Per  Laplas 
yaratgan  determinizm  nazariyasiga  ko'ra  barcha  zarralarning  koordina­
talari va  impulslarini  bilgan  holda  koinotning  kelajagini  oldindan  aytib 
berish  mumkin.  Shunday  bir  qiymatli  karomatni  klassik  elektrodi­
namika  ham  berishi  mumkin.  Kvant  mexanikada  barcha  zarralarni 
koordinatalar  va  impulslarini  berish  mumkin  emas.  Faqat  boshlang'ich 
momentda  to'lqin  funksiyani  berish  mumkin.  Zarra  holatini  to'la  tavsi­
flovchi  funksiyadir.  Koordinata  va  impuls  bilan  xarakterlanuvchi  klas­
sik  holat  to'lqin  funksiya  bilan  almashadi.  Kvant  mexanika  keyingi 
istalgan  momentdagr  to'lqin  funksiyani  bir  qiymatli  aniqlaydi.  Laplas 
sababiyati  buziladi.  Kvant  mexanika  nuqtayi  nazaridan  dinamik  sa­
babiyat  o'rinli  bo'lib  qoladi.  Dastlabki  holatni  to'la  aniqlash  keyingi 
holatni bilishga xizmat qiladi.
2.  Kvant  mexanikaning  eng  muhim  kashfiyoti  -   mikrodunyo 
qonunlarining  ehtimollik  xarakteridir.  Kvant  nazariyasining  tasawuriga 
ko'ra  hamma  mikrozarralar  xuddi  to'lqin  kabi  birdaniga  fazoning 
hamma  nuqtalarida  mavjud,  lekin  uning  biror  nuqtada  qayd  qiiinishi 
o 'z  ehtimolligi  bilan  xarakterlanadi.  Shuning  uchun  mikrozarralarni 
harakatini traektoriya tushunchasi bilan tavsiflash  mumkin  emas.
3.  To'lqin funksiya  -   fizik maydon  emas, balki axborot maydonidir,
4.  Kvant  mexanikada  superpozitsiya  prinsipi  bajariladi.
5.  To'lqin  funksiya  reduksiyalanadi.  Har  bir  o'lchashdan  so'ng 
to'lqin  funksiya  sakrab  o'zgaradi.  Reduksiya  so'zi  ko'p  holatli  zarran­
ing  bitta  aniq  holatga  kelishini  anglatadi.  11.3-rasmdagi  difraksion 
panjara  misolida  panjarani  chap  tomonidagi  holati  panjaraning  o'ng 
tomonida  yo'q  qilinadi  va  yangi  difraksion  holat  hosil  bo'ladi;  uning 
ko'rinishi  dastlabki  holat  va  asbob  (difraksion  panjara)ga  bog'liq, 
Fotoplastinkada  yana  bitta  o'zgarish  yuz  beradi;  panjara  va  foto­
plastinkada  keng  sohani  egallagan  to'lqin  funksiya  fotoplastinkada 
qisilib,  fotoemulsiya  donachasi  o'lchamigacha  lokallashadi.  Bu  lo- 
kallashish  emulsiyaning  turli  donachalarida  bo'lishi  mukmin,  Fotoplas- 
tikaga  tushguncha  elektronning  istalgan  joyda  bir  xil  ehtimol  bilan 
topish  mumkin  edi;  emulsiya  donachasi  qoraygandan  so'ng  elektron 
holatining  noaniqligi  juda  ham  qisqa  vaqtda  sakrab  o'zgaradi  va  don- 
cha  o'lchami bilan  xarakterlanadi.  Bu  holni  to'lqin  funksiya  reduksiyasi 
yoki  to'lqin-paket  reduksiyasi  deyiladi.  Shunday  qilib,  mikroolamda 
zarra  turli  qiyofada yashashi  mumkin;  goh  yassi  to'lqin,  goh  murakkab 
difraktsion  holatda,  gohida  fotoemulsiya  donchasi  ko'rinishida  bo'ladi. 
O'lchash jarayonida  eski  holat  o'rniga  yangi  holat  paydo  bo'ladi  va  bu 
o'zgarish  statistik,  ehtimolyat  qonuniga  bo'ysunadi.  Hech  qanday  fizi­
kaviy  maydon  bunday  xususiyatga  ega  emas,  To'lqin  funksiyaning
236

K V A N T   F I Z I K A S I
sakrab  o'zgarishi  -   qo'shimcha  shartni  boshqacha  tanlash  boiib, 
bizning  misolimizda  to iq in   funksiyani  doncha  qorayishi  shartida  qid- 
irayapmiz.  Klassik  fizikada  bunga  quyidagi  o'xshatishni  olish  mumkin. 
Agar  teleskopning  holatini  bir  yulduzdan  ikkinchi  yulduzga  tezda 
0
‘zgartirsak,  kuzatish  joyini  tanlash  o'zgaradi,  xalos,  teleskop  bu  holda 
yulduzlarga  hech  qanday fizikaviy ta’sir ko'rsatmaydi.
6

O'lchov  asbobi  bilan  va  tajriba  o'tkazilayotgan  obyekt  orasidagi 
o'zaro  ta’ sir  tekshiriluvchi  obyektga  ta’ sir  qiladi  va  o'zaro  ta’ sir  nati­
jasida  mikrozarra  boshqa  kvant  holatiga o'tadi.
SAVOLLAR
>   Nima  uchun  to'lqin-paket  yoyilib  ketadi?
>  Nima  uchun  zarrani  to'lqin-paket  bilan  aynanlashtirish  mum­
kin  emas?
  Zarralar to'plamini  to'lqin deb  qarash  mumkinmi?
>   To'lqin  funksiyaning statistik  talqinini  ta’ riflang.
>  De-Broyl  toiqinining  statik izohini kim va qachon bergan?
>   To'lqin  funksiyaning  statistik  talqini  mikrozarra  strukturasiga 
bog'liqmi?
>   Ehtimol  intensivligi  deganda  nimani  tushunasiz?
>  Yorug'lik  difraksiyasi  bilan  mikrozarra  difraksiyasini  o'xshash 
deb  atasa bo'ladimi?
>  Ehtimol  zichligini  ta’riflang?
>  Nima  uchun  ayrim  fiziklar  individual  mikrozarraning  to'lqin 
xususiyatini inkor qiladilar?
>   Qaysi  eksperiment  Bomning  statistik  talqini  bilan  individual 
elektronning  to'lqin xususiyatga  ega ekanligini  tasdiqladi?
>  
11
.
2
-banddagi  11.3-rasmdagi  eksperimentdagi  korpuskulyar 
xususiyati  bilan  to'lqin  xususiyat  farqini  tushuntiring?
>  Intensivligi  juda  kichik  bo'lgan  elektronlar  bilan  qilingan  taj­
riba  natijasi  11.4-rasmda  tasvirlangan.  Uni  izohlang.
>  Sanog'ichga  kelib  tushgan  elektronlar  uchun  ehtimol  formu­
lasini yozing va  tushuntiring,
>  Bornning  to'lqin  funksiyani  statistik  talqiniga  ko'ra  elektronni 
qanday tasawur qilish  mumkin?
>  Superpozitsiya prinsipini ta’riflang va  mohiyatini  tushuntiring.
>  Kvant  fizikadagi  superpozitsiya  prinsipi  klassik  fizikadagi  su­
perpozitsiya  prinsipidan  farq  qiladimi?
>   Superpozitsiya  prinsipini holatlar uchun yozib  ko'rsating.
>  Uzluksiz  o'zgaruvchi  parametrga  bog'liq  bo'lgan  holatlar 
uchun  superpozitsiya  prinsipi  qanday yoziladi?
>  Eksperimentda  superpozitsiya  prinsipi  qanday  amalga  oshiri- 
ladi?

l í l

J-
i r "
K V A N T   F I Z I K A S I
>  To'lqin  funksiya  kvant  fizikada  qanday belgilanadi?
>   Zarra  o'rnini  qayd  qilinishi  ehtimoli  uchun  Bomning  statistik 
talqinini  qanday qo'llash  mumkin?
>  Elementar  ehtimol va  ehtimol  zichligi  formulasini yozing.
>   Nima  uchun  to'lqin  funksiya  normalanadi?
>  Mikrozarra  impulsi  klassik  va  kvant  fizikada  qanday  o'Icha- 
nadi?
>   Devisson  va  Jermer  eksperimenti  misolida  superpozitsiya  prin­
sipi va  impuls ehtimolini topishni tushuntiring.
>  Impuls  ehtimoli  qanday formula bilan ifodalanadi?
11.5-rasmda  ko'rsatilgan  Faradey  silindri  qanday  fazifani  ba-
>
jaradi?
>
>
>
>
Kvant nazariyaning  eng  muhim xossalarini  ayting.
To'lqin funksiyani  nima uchun axborot  maydoni deb  atashadi? 
To'lqin  funksiya fizik  ma’ noga  egami?
To'lqin  funksiya  reduksiyasi  deganda nimani  tushunasiz? 
Mikrozarralaming  fazoning  turli  nuqtalarida  bo'lish  ehtimolini 
qanday asboblar yordamida o'rganish  mumkin?
>   Ehtimol  to'lqinining  boshqa to'lqinlardan  farqi  nimada?
>   Shu  bobni  o'qiganingizdan  so'ng  sizda  qanday  tasawur  hosil 
bo'ldi?
MASALALAR
>  Zarra bir vaqtning  o'zida  p,  va  p
2
  impuls  bilan  qarama-qarshi
yo'nalishda  harakat  qilyapti.  Bu  hoi  uchun  superpozitsiya  prinsipini 
yozing.  Bu  zarra impulsining  qiymati qanday topiladi?
11
.
1
-masala  shartida  Cp^  =  ~
ga  teng  bo'lsa
if 
‘  
V 3
Pj  va  P
2
  impulslar nimaga teng?
>  
y/{x,t) =  A c o s { k x - o x )  formula  bilan  tavsiflanuvchi  to'lqin 
funksiyaning  superpozitsiya  prinsipi  va  to'lqin  funksiya  ehtimol 
to'lqiniga teng  emasligini  ko'rsating.
>  De-Broyl  to'lqini  ehtimol  zichligini  xarakterlash  uchun  uni 
qanday ko'rinishda yozish kerak bo'ladi?
  Superponirlash  holatida  mikrozarra  uchun  ehtimol  formulasini 
yozing.
'I
A V
 
formula  bi-
>  
11.5-masala  yechimida  AP^  =   Cy 
Ian  ifodalanadi.  Shu  ehtimolning  ma’ nosini  tushuntiring.
238

K V A N T   F I Z I K A S I
>  11.5-masala  yechimidagi  AP
,2
  ehtimol  interferensiyasini  izoh- 
lang.
>  Nima  uchun 
hadni interferension  had  deyiladi?
>  Koordinataga  bog'liq  bo'lmagan  hol  uchun  ikkita  de-Broyl 
to'lqinini yozing.  Shuningdek,  interferension  hadni  ko'rinishini yozing.

Mavzudagi  11.3-rasmda  maksimumlar  orasidagi  masofa  L„ 
zarraning  to'lqin  uzunligi X bo'lsa difraksiya burchagini toping.
>  Kogerent  va  kogerent  bo'lmagan  superpozitsiyalarning  farqi 
nimada?
1
  j” 
'1
U.6-rasm.
>  11.6-rasmda  ikkita  tirqishh  to'siq  tasvirlangan.  T   tirqishli  ek- 
randan  aniq  impulsga  ega  bo'lgan  zarraning  o'tishi  tasvirlangan. 
Ularning  intensivligi  har  sekundda  bitta  zarraga  teng  bo'Isin.  T   ekran 
orqasida  yana  5  ta  tirqishli  to'siqlar  joylashtirilgan.  Sanog'ichning  har 
gal  bevosita  tirqishlardan  biriga  qo'yib  undan  oqayotgan  zarralar 
oqimini  kuzataylik.  Berilgan  tirqish  uchun  1  sekundda  o'tgan  zarralar 
soni    ga  teng  bo'lsa,  biz  T   tirqishdan  o'tayotgan  zarra  ehtimoü  R  ga 
proporsional  deymiz.  Zarralarning  to'lqin  uzunligi  X  tirqish  kengligiga 
nisbatan  katta  bo'Isin;  hamma  tirqishlar  o'lchami  bir  xil.  Bu  holda 
tirqishda  to'lqinning  kompleks  amplitudasi  haqida  so'zlasa  bo'ladi. 
Shu  tirqishlarda  o'tish  amplitudasi  deganda  nimani  tushunasiz?  Ras­
mda  tasvirlangan  tirqishlardagi  o'tish  amplitudalarini  belgilang  va 
ularni  izohlang.

11
.
6
-rasmdagi  o'tish  amplitudalarini  bilgan  holda,  ular  uchun 
o'tish  ehtimollarini  yozing.  Nechta  o'tish  ehtimoli  mayjud?  Amplitu- 
dani  A   harfi  bilan,  ehtimolni  R  harfi  bilan  belgilab,  ehtimolni  har  bir 
tirqishda  amplituda  orqali  ifodalang  va  izohlang.
239

i
K V A N T   F I Z I K A S I
>  11.6-rasmdagi  tirqishlarning  barchasi  ochiq.  T   tirqishdan 
o'tgan  zarrani  D  tirqishga  kelishdagi  ehtimoli  R  nimaga  teng  (kvant 
mexanika  nuqtayi  nazaridan)?
>  11.14-masala  klassik  fizika  nuqtayi  nazaridan  qarab  ehti­
molning  formulasini yozing.
>   O'tish  amphtudalari  noma’ lum,  ehtimollar  ma’ lum  bo'lsa  r  ni 
qanday topish  mumkin?
>   Nima  uchun-  11.15-masaladagi  R  ni  topish  formulasini  xato 
deymiz?  Xato  nimada?
>   11.7-a  rasmda  tajriba  chizmasi  ko'rsatilgan  T   tirqish  bilan  1’ 
tirqish  oralig'iga  to'lqin  íazoni  to'xtatuvchi  qurilma  qo'yilgan.  Fazani 
tutib  qolganida  amplituda  A,  faqat  A,e'®  amplitudaga  almashtiriladi. 
r(6)  ni toping.
e*  <■
a)
11.7-rasm.
b)
>   11.7-b  rasmda  quyidagi  astaob ko'rsatilgan  1’  va  2’  tirqishlarni 
yorituvchi  ikkita  sohada  1  va  2  manba  ko'rsatilgan.  Ikkita  manbaning 
intensivligi  bir  xil.  T   to'siqdan  o'tgan  zarra  D  tirqishdan  o'tish  ehti­
moli r,  ni  toping.
>   Kogerent  bo'lmagan  ikkita  manba  uchun  kogerent  bo'lmagan 
superpozitsiya  umumiy qoidasini  aniqlang.
>   11.8-rasmda  interferensiya  manzaralari  ko'rsatilgan.  Ulami  tu­
shuntiring.
>   To'lqin  uzunligi  X =50  nm  bo'lgan  yorug'lik  nuri  tirqishlar  or- 
alig'i  0,lmm  bo'lgan  to'siqqa  tushmoqda.  Ekran  to'siqdan  1,2  m  uzo- 
qlikda  o'rnatilgan.  Ekranda  hosil  bo'lgan  interferensiyada  polosalar 
qanday joylashgan?
240

K V A N T   F I Z I K A S I
а)
b)
11.8-rasm.
d)
Ekran
1=1.2м
íl.9-rasm.
241

KVANT  F IZ IK A SI
XII  BOB
Mavzu: 
KVANT  FIZIKANING MATEMATIK APPAKATI
Reja:
12.1.  Koordinata  va  impulsning  o‘rtacha  qiymatini  topish.  Ope­
ratorlar.
12.2.  Operatorlar va  ularning  xossalari.  Chiziqli  va  ermit  opera­
torlar.  Dirak qavslari.
12.3.  Kommutativ va nokommutativ operatorlar.
12.4.  Fizikaviy  kattalikning  o‘rtacha  qiymati  va  o‘rtacha  kvad- 
ratik og‘ishini hisoblash.
12.5  Xususiy  qiymat va  xususiy  funksiya.  Operatorlaming  disk­
ret va tutash spektri.
12.6.  Operatomi  xususiy  qiymatlari va  xususiy  funksiyaiarining 
xossalari.
12.7.  0 ‘lchash  natijalarining  ehtimolini  hisoblashning  umumiy 
kvant-mexanik metodi.
12.8.  Turli mexanik kattaliklarni bir vaqtda o‘lchash sharti.
12.9.  Koordinata va impulsning operatorlari.
12.10.  Energiya operatori.
12.11. Harakat miqdori momenti operatori.
ADABIYOTLAR
>  Д.И.Блохинцев.  Основы  квантовой  механики.  М.,  1961.
>
  А .А .С О К О Л О В , 
Ю.М.Аоскутов,  И.М.Тернов.  Квантовая  меха­
ника.  М.,  1962,
>  А.Р.Ландау,  Е.М.Лифшиц.  Квантовая  механика,  нереляти- 
вическая теория.  М.,  1963.
>  Дж.  Мак-Коннел.  Квантовая  механика  частиц.  М.,  1962.
Masalaning  qo‘yilishi: 
Bu  bobda  biz  kvant  fizikaning  matematik 
apparati  -   kvant  mexanika  haqida  qisqacha  to‘xtalamlz.  Mikroolam 
jarayonlarini  tasvirlovchi  kattaliklar  -   o'rtacha  qiymat,  xususiy  funk­
siya,  xususiy  qiymat va  ularning  operatorlari haqida  so‘z boradi.  Kvant 
mexanikada  faqat  chiziqli  va  ermit  bo'lgan  operatorlarni  ishlatilishi  va 
ularning  xossalari  haqida  ma’lumot  beriladi.  Shuningdek,  mikrozarra 
koordinatasi,  impulsi,  impuls  momenti,  kinetik  energiyasi  va  to‘la  en­
ergiya  operatorlari  haqida  qiqacha  ma’lumotlar  keltiriladi.  Kommutativ 
va  antikommutativ  operatorlar  va  mikroolamda  ayni  bir  vaqt  momen­
tida  ikkita  fizikaviy kattalikni  qiymatini  aniq  o‘lchash  shartlari  beriladi.
242

KVANT  F IZ IK A SI
XII bob.
  KVANT MEXANIKANING MATEMATIK APPARATI
12.1. Koordinata va impulsning  o‘rtacha  qiymatini topish.
Operatorlar
Kvant  nazariyaning  hozirgi  zamon  matematika  apparatiga  kvant 
mexanika  deyiladi.  Kvant  mexanika  ohy  darajada  matematikalashtiril- 
gan  fan  bo'lib,  bundan  keyingi  boblardagi  materiallarni  yaxshi  o ‘z- 
lashtirish  uchun  u  haqda  juda  bo'lmaganda  umumiy  ma’lumotga  ega 
bo'lishimiz  lozim.  Biz  bu  bobda  kvant  fizikaning  matematik  apparati 
haqida  zarur bo'lgan  tushunchalarni  beramiz.
Bir vaqtning  o'zida  zarraning  koordinata  va  impulsi  aniq  qiymatga 
ega  bo'lgan  holatlar  kvant  sohada  mavjud  emas.  Bu  holat  o'zini  aksini 
nazariyada  -  matematik  apparatda  ham  o'z  ifodasini  topgan.  Kvant 
mexanikaning  matematik  apparati  klassik  mexanikaning  apparatidan 
tubdan  farq  qiladi.  Biz  aw algi  bobda  zarrani  o'mini  qayd  qilinishi 
(topish)  ehtimoli  va  shu  holatda  bo'lgan  zarraning  impulsining  ehti­
molini  antqlash  yo 'li  bilan  tanishdik.  (11.4)  va  (11.21)  formulalar  bizga 
istalgan  funksiyani 
f[x ,y ,z )
 
va 
Py,  p j
  larga  nisbatan  o'rtacha
qiymatini  topishga  imkon  beradi.  Endi  fizikaviy  kattaliklarni  o'rtacha 
qiymatini topish  bilan  shug'ullanamiz.
Kvant  mexanika  mohiyati  jihatdan  statistik  xususiyatiga  ega  bo 'l­
gani  uchun  fizikaviy  kattaliklarni  qiymatini  topish  juda  katta  aha­
miyatga  ega.  Fizikaviy  kattahklarni  o'rtacha  qiymatini  topish  uchun 
aw algi  bobda  keltirilgan  ikkita  fundamental  ifodalardan  foydalanamiz. 
Bornning  statistik  izohiga  binoan:
dp (x,
 
y ,  z,  t)
  = 
|\|/(x,  y,  z,  t f d V
 
(12.1)
M
p
. '   Py .   P . ,   t ) =   \c{Px,   p y , p , ,   t f d p ^ d p y d p ^  
(12.2)
va  ehtimollik nazariyasidan
{r)=   jrd {(x,y,z,t)-
 
(12.3)
Bu  formulularga  tayanib,  aw al 
y, z, ()  funksiya  bilan  xarak- 
terlanuvchi  zarra  holatining 
x
  -   koordinatasining  o'rtacha  qiymatini 
topamiz:
(x)
 

df(x, y,z,t)=^
 
j x  |\|/(x, y, 
z, 
dxdydz=
=
  f 
(x, y, z, i)^ ¥ U , 
y,  z,  t)dxdydz-
 
(12-4)
243

KVANT  F IZ IK A SI
{12.5)
(
12
.
6
)
(12.4)  formulani  umumlashtirib,  zarraning  istalgan  umumiy 
f{x,  y, z)
  koordinatasi  uchun
(
f(x,
  y, z))  =  j  /(x, y, z)j\i/(x,  y, z, 
t f  dxdydz-
=  fw   (x,  y, Z, t)/(x, 
y, z)ii/(x, у  z, t)dxdydz- 
Endi 
-   impulsni  o‘rtacha  qiymatini  topamiz:
(Px) =  Í Px di(Pxt 
Py
 Pz. f) =  Í Px KPx. 
Py
 Pz. t f  dPx^PydPz  =
=  ,  C (p,, 
Py,  p^,  t)p^  c(p,,  Py,  p,,  t)dp,dpydp^ ■
Xuddi  shu  kabi  erkli  ф(р^, 
Py,  p^)
  funksiyaning  o'rtacha  qiymati
(ф(Рх. 
Py
  Pz))  =  J c ‘  (Px. 
Py  Рг' Ы
р
.<  Py  P
z
H
p
.'  Py
  Pz. 
t)dp,dpydp,
  (12.7)
(12.5)  va  (12.7)  formulalar  ko‘rinish  jihatdan  bir-biriga  juda 
o'xshash,  ammo  struktura  'jihatdan  ular  aslo  bir-biriga  teng  emas.
f(x,
  y, z)  funksiyaning  o'rtacha  qiymati  berilgan 
Ti 
U  funk­
siya  orqali  bevosita  topiladi.  Lekin  impulsning  o'rtacha  qiymati 
^ф(р^, 
Py, 
pJl
  ni  topish  uchun  \}i(x,  y, 
Z, 
t)
  ni  de-Broyl  to'lqinlari
bo'yicha  yoyilganda  hosil  bo'lgan 
c{p^,  Py,  p^,  t)
  koeffitsientlarni
bilishga  to'g'ri  keladi.
Zarra  impulsini  ifodalovchi  funksiyaning  o'rtacha  qiymatini 
to'g'ridan-to'g'ri  v   to'lqin  funksiyaning  o'zidan  topish  mumkin 
emasmikin?  Bu  savolga  ijobiy  javob  mavjud.  Pure  integrallari  haqidagi 
teoremaga  asoslanib,  isbot  qilib  o'tirmasdan  quyidagi  almashtirishni 
bajaramiz:
(ф(Рх.  Py.  p j)   =  J  
\^{x,y,z,t)dxdydz
 
(
12
.
8
)
(12.8)  ifodadan  ko'ramizki,  ф(р^, Py, p,)  -  impulsning  o'rtacha  qi­
ymati  \|/(x, y, 
Z,
 f)  orqali  bevosita  topish  uchun,  ф  ning  argumentlarini
A  
A   differensiallarga  almashtirib,  so'ng  ularni  (— 
iñ )
  ga
dx'  dy'  dz
ko'paytirib  qo'yish  kerak.  Bu  holda  (12.8)  formuladagi  integral  osti- 
dagi  ifodada  differensial  olish  amali  ф  dan  keyin  v|/  -  funksiya  uchun 
amalga oshiriladi.
Masalan,  impulsning 
x
  -  o'qiga  nisbatan  o'rtacha  qiymati  quyi-
Э  ^
щ{х.  у, z,  t)d.xdydz=
244

KVANT  F IZ IK A SI

-ih.
 

\)/ 
y- Zr 
t) 
dxdydz-
 
(12.9)
CfJi
Ko'rib  turibsizki,  endi  (12.5)  va  (12.9)  formulalarga  bir xil  ko'rinish 
berish  mumkin.  Buning  uchun,  impuls proeksiyalarini  faqat  differensial 
operatorlar yordamida yozish  kifoya.
Agar

2.101
operator kirgizsak,  u  holda  (Í2.8)  ni
\\ 
f t  
f  

^  \  /
(cp(px. 
Py 
Pzl) 
=  J 
(x  
y, Z,
 fW  p^, 
Py,
  p, 
y\f{x, y, z,  tjdxdyd: 
(12.11)
V  
/
ko'rinishda yozsak bo'ladi.
Shundy  qilib,  biz  muhim  bir  xulosaga  kelamiz:  zarra  impulsiga 
bog'liq  bo'lgan  cp(p^,  p^,  p^)  -  erkli  funksiyani 
o'rtacha
  qiymati 
y, z, t)  ~
  holat  funksiyasi  orqali  topish  misollarini  yechish  uchun
^(Px<  Py  Pz) 
'
  funksiyani  
p^
  ko'rinishdagi  operator  funksi-

/
yaga  almashtirish  kerak.
Bu  natijani  umumlashtirib  kvant  mexanikadagi  istalgan  fizikaviy 
kattalikni  o'rtacha  qiymatini topish  formulasini yozsa bo'ladi.
Istalgan  i   fizikaviy  kattalikning  (koordinata,  harakat  miqdori  mo­
menti,  energiya  va  bu  kattaliklar  uchun  berilgan  istalgan  funksiya) 
o'rtacha  qiymati
(L)  =  I  V' (^. 
y< z, t)L\\f{x,  y, z,  t)dxdydz
  ■
 
(12.12)
Bunda,  \i/(x, 
y,
 z, 
t)  -
  kvant  sistemani  holatini  xarakterlovchi
to'lqin  funksiya;  I   -   fizikaviy kattalikni  xarakterlovchi  operator; 
{ l} j
-   L
 kattalikning  o'rtacha  qiymati.  (12.12)  formulaga  ko'ra,  har  qanday 
mexanik kattalikni o'rtacha  qiymatini topish  uchun,  shu  kattalikni  ope­
ratorini  bilish  kerak  degan  juda  muhim  natijaga  kelamiz,  (12.12)  for­
mula  kvant  mexanikaning  eng  asosiy formulalaridan  biridir.  Operator­
lar  kvant  mexanikada  fundamental  ahamiyatga  ega  bo'lib,  bu  tushun­
cha  1926-yilda Maks  Born va  Norbert Viner tomonidan  kiritilgan.
Download 11.27 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   23   24   25   26   27   28   29   30   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling