E. rasulov, U. Begimqulov

Лр,  =
A N  
141
=   0,117,
N  
1200
Ikkinchi  seriyada  ДУ  hajmiga  tasodifan  tushgan  elektronlarning
ehtimoli
ДРз  = - ^   =  0,115 
^  
1200
Shunday  seriyalardan  keltirilgan  ma’ lumotlar  11,1-jadvalda  kelti- 
rilqan.
Har  bir  sekundda  tayyorlangan  elektronlar  soni  1200  ta,  demak, 
har  sertya  uchuu  ekspozitsiya  vaqti 
1200
;ö
0 — 20
  minut.  Jadvaidan 
ko'ramizki,  birinchi  seriyada  sanog'ichga  kelib  tushgan  elektronlar 
soni  AN, =  141  ta,  ikkinchi  seriyada  AiV2=138  ta  va  hokazo.  Har  bir
226 
____________ _________________ — ----------------------— ------

K V A N T   F Í Z I K A S Í
seriyadagi  har  bir  elektronning  sanog'ichga  kelib  tushish  vaqti 
tasodifiy,  lekin  sanog‘ich  qayd  qilgan  elektronlarning  umumiy soni  esa 
bir-biriga  juda  yaqin.  Bu  esa  xuddi  statistik  iizikadagi  ko‘ p  sonlami 
qonuniyatga  juda  o'xshaydi.  Shuning  uchun  biz  o'rtacha  arifmetik 
sonni  hisoblashimiz  mumkin:
141+ 138+145+135+142 
(AiV) = ------------------ ------------------- ■
Seiiya
Sanog'ichga 
elektTonlam ing 
k elib  tushish 
vaqti 
(se k u n d j
Sanog'ichga kelib  tushgan 
AN elektronlarning umumiy 
soni
1-seriya
12,1;  16;  60;  100,3;  200,4;...
141
2-seriya
1,2;  19;  32;  33;  90,4;...
138
3-seriya
17,4;  60;  62;  150;  230;...
145
4-seriya
30;  31;  9Ó;  200;  271;...
Î35
5-seriya
6;  21;  37,2;  600;  140;...
142
Bundan  chiqadiki  AV  hajmga  tasodifiy  kelib  tushayotgan  elek­
tronlarning  ehtimoli
N  
1200
Bunday  ehtimollarning  mavjudligi  qonuniy  bo'lib,  elektronlarning 
sanog'ichga  kelib  tushishida statistik  qonuniyat  mavjudligi  ayon  bo'lib 
qoladi.  Shunday  qilib,  tirqishdan  elektron  yaxlit  o'tib,  ularning 
fotoplastinkada  namoyon  bo'lishi  ehtimol  qonuniyatiga  bo'ysunadi. 
Demak,  tirqish  ortidagi  ehtimol  maydoni  tasodifiy  o'zgarmay,  balki 
y/{r,t)  to'lqin  funksiya  bilan quyidagi  munosabatda  bog'langan  hoida 
o'zgaradi:
Ap = j\|/(f, t f A V -
Shunday  qilib,  elektronning  biror  nuqtaga  kelib  tushishi  tasodifiy 
hodisa.  Biroq  bu  tushishning  ehtimoli  uni  tavsiflovchi  to'lqin  funksiya 
va  statistik  qonunlar bilan  ifodalangan  aniq  qonuniyatga  bo'ysunadi.
Yuqoridagi  tajribadan  shunday  xulosaga  kelamizki  sanog'ichning 
vaqtdan  vaqtga  o'tib  ishlashi  va  bu  ishlash  pa
3
rtida  elektronni  yaxlit 
holda  kelib  tushishishi  (ulushini  emas)  qayd  qiii-nishi
p (r, t) =   |\j/(f,  t f
elektron 
moddasining 
taqsimlanishini  xarakterlamaydi. 
De-Broyl 
to'lqin  funksiyasini  ehtimollik  xarakterga  ega  ekanligini  namoyon 
etadi,  Bu  esa  1927-yilda  nemis  fizigi  Maks  Bornning  to'lqin  funksi- 
yasiga  statistik  izohi,  ya’ ni  ehtimol  xarakterini  to'la  tasdiqlaydi,
Elektronning  to'lqin  funksiyaning  amplitudasiga  mos  ravishda  fa­
zoda  «yoyilgan»  ya’ ni  bulut  deb  qarash  mumkin,  Elektron  modda  bi-

Ian  xuddi  bir  nuqtada  mujassamlashgan  bir  butun  (yaxlit)  holda  o'zaro 
ta’sirda  bo'ladi.  O'zaro  ta’sirdan  so'ng,  albatta,  u  aw algi  \\r  -   funksiya 
bilan  tasvirlamaydi.  Uning  fazoda  «yoyilishi»  kichiklashgan,  ya’ni  u 
fotoplastinkaning  qoraygan  sohasidagina  namoyon  bo'ladi,  Elektron 
modda  bilan  o'zaro  ta’ sirda  bo'lganda  bir  nuqtada  mujassamlashgan 
bir butun  (yaxlit)  holda  o'zini  namoyish  qiladi.
Yuqoridagi  mulohazalardan  shu  narsa  ayon  bo'ladiki,  klassik 
obyektlarda  bunday  yoyilish  yo'q.  Mikroolamda  esa  elektron  buluti 
ikki  tirqishni  ochiqligini  sezadi  va  ulardan  baravariga  o'tadi.  Bilyard 
shari  kabi,  klassik  obyektlar  esa  bilyard  stolini  hamma  luzasiga  bir 
vaqtda  tushmaydi.  Bunga  asosiy  sabab  shar  harakatining  de-Broyl 
to'lqin  uzunligi  shar  o'lchamlariga  nisbatan  juda  ham  kichik  ekanligi, 
ya’ni  deyarli  nolga  tengligidir.  Shu  boisdan  ham  shar  yoyilmadi  deya 
olamiz va difraksion  hodisa  bu  holda  kuzatilmaydi.
11.3. Mikrozarra o‘mining ehtimoli (mikrozarra o‘rnini qayd 
qilinish ehtimoli)
Shu  paytgacha  biz  erkin  harakat  qilayotgan  zarralar  haqida  va 
ulaming  harakatini  de-Broyl  to'lqini  yoki  to'lqin-paketga  bog'lab 
o'rgandik.  Real  hayotda  esa,  mikrozarralarning  holatini  yassi  mon­
oxromatik  to'lqinlar bilan  tavsiflab  bo'lmaydi.  Haqiqatda  esa  holatlarni 
tavsiflovchi  to'lqin  funksiyalar  murakkab  ko'rinishga  ega.  Murakkab 
va  kompleks  ko'rinishga  ega  bo'lgan  to'lqin  funksiyalar  yunoncha 
«psi»  harfi  (\|i)  bilan  belgilanadi va  zarraning  psi-funksiyasi  deb  yuriti­
ladi,  ya'ni
\|/=  
y, Z, i). 
(11.2)
Hozirgi  zamon  fizika  adabiyotlarida  (11.2)  ni  to'lqin  funksiya  deb 
ham  atashadi.  Psi-funksiyaning  statistik  talqiniga  ko'ra  zarra  o'rnini 
topish  ehtimoli  ushbu  funksiyaning  intensivligi,  ya’ni  v|/  ni  kvadrati 
bilan  aniqlanadi.  Umuman  qaraganda  \|/  kompleks  ko'rinishga  ega, 
ehtimol  esa  doimo  musbat  va  haqiqiy  son  bo'lgani  uchun  intensiv- 
likning  o'lchami  sifatida 
emas,  balki
(11-3)
kattalik  olinadi.  Bunda  Y   -  funksiya  w  -  funksiyaga  qo'shma  funksi- 
yadir.  (’ )  kompleks  qo'shma  kattalikni xarakterlaydi.
Zarraning  koordinatalari  uzluksiz  o'zgaradi.  Shu  sababdan  x,  y,  z 
nuqta  atrofida  zarrani  topish  ehtimoli juda  kichik
X, 
x+dx;  y,  y+dy:  z,  z+dz 
sohada  aniqlash  o'rinlidir,  dV=dxdydz  hajmda 
ni  o'zgarmas  deb 
hisoblasak,  u  holda  zarrani  topish  ehtimoli  dV  -   hajmga  proporsion­
aldir.

n 
(  I  lili
т Н ф щ Л т
K V A N T   F I Z I K A S I
t  —  vaqt  ichida x,  y,  z  nuqta  atrofida  d V   —  tiajmda  zarrani  topish- 
ning  elementar ehtimoh
d p {x ,  y,  z,  t )
 
=  ¡\)/(x, 
y,  z,
 
dV"
, 
(11.4)
ehtiraol  zichligi  esa
formula bilan  aniqlanadi.
(  -   vaqt  momentida  chekli  V   -   hajmda  zarraning  qayd  qilinishi 
ehtimoli  ehtimollarni  qo'shish  teoremasiga  binoan
p{V,  t ) ^   ¡ d p =   J|V(z.  y, z. t f d V '  
(1^ 6)
V 
V
tenglik  orqaü  topiladi.
í  -   vaqt  momentida  (
11
.
6
j  integralni 
dan  +«=  gacha  oraliqda 
integrallasak  zarrani  qayd  qilinishi  uchun  to'la  ehtimolni  topamiz.  U 
holda  to'la  ehtimol birga teng,  ya’ni
j f w ( x , y , z , t f d V ^ l -  
(11-7)
(11.7) 
formula  bilan  ifodalanadigan  shart  normallash  deyiladi.  Bu 
bu shartni  qanoatlantirgan  funksiyani  normallangan  funksiya  deyiladi.
Har  qanday  funksiya  uchun  ham  normallash  shartini  ta’ riflab 
bo'lmaydi.  Cheksiz  oraliqda 
dan  olingan  integral  uzoqlashuvchi
bo'lsa,  funksiyani  normallab  bo'lmaydi.  Lekin  real  eksperimental  shar- 
oitda  hatto  erkin  harakat  qilayotgan  zarralar  ham  qurilmaning  ge- 
ometrik  o'lchamiari  bilan  cheklangan  sohada  bo'ladi  va  zarraning 
tezligi  ham  cheklidir.  Shu  sababdan,  fazoning  cheklangan  sohasida 
zarrani  qayd  qilish  qonunining  doimo  noldan  farqli  va  zarj^ning  bu 
holatini  tavsiflovchi  to'lqin  funksiya  integrallanishi. o'rinlidir.
Agar
\ ) / f d V = 0
bo'lsa,  bu  ifoda  fazoning  hech  qaerida  zarrani  yo'qligiga  ishora  qiladi. 
Fazoning  har  bir  nuqtasida  f  vaqt  momentida  zarraning  qayd  qilinishi 
ehtimoli  aniq  bir  qiymatga  (bir  qiymatli)  ega  bo'lishi  uchun,  albatta  V|/
-   funksiya  va  uning  hosilasi  uzluksiz  bo'lishi  shartdir.  Bornning  de- 
Broyl  to'lqini  statistik  izohiga  ko'ra  kvant  mexanika'ning  asosiy  masal­
asi  harakatlanayotgan  mikrozarralar  uchun  to'lqin  funksiya  ko'rinishini 
yoza olish va  uni  aniqlashdir.
Shunday  qilib  psi-funksiya  modulining  kvadrati,  vaqtning  xuddi 
shu  momentida,  fazoning  xuddi  shu  nuqtasida  zarrani  qayd  qilinishi 
ehtimoliga  proporsionaldr.  To'lqin  funksiyaning  o'zi  hech  qanday  fizi-

kaviy  ma’ noga  ega  emas,  balki  uning  modulining  kvadrati  zarraning 
korpuskular xususiyatini xarakterlaydi.
11.4.  Ehtimoliyat toiqinlari uchun superpozitsiya prinsipi 
(holatlar uchun superpozitsiya prinsipi)
Turli  tabiatga  ega  boigan  maydonlar  va  toiqinlam ing  eng  umu­
miy  alomatlari  superpozitsiya  prinsipi  bilan  ifodalanadi.  Superpozitsiya 
deganda  bir-birini  ustiga  q o ‘ylsh  (Joylash,  taxlash),  ya’ni  umuman  ol­
ganda  qo'shish  tushuniladi.  Yaxshi  ma’ lumki,  maydonlar  va  to'lqin-lar 
bir-birlarining  orasidan  bemalol,  qarshiliksiz  o'tadilar.  To'lqinlar  ke- 
sishgan  sohada  interferensiyalanadi.  M a’ lum  bir  shartlar  bajarilgan-da 
ikkilamchi  to'lqinlarning  interferensiyasi  difraksiyani  sodir qiladi.
To'lqinlarni  bir-birlarining  orasidan  qarshiliksiz  o'tishi,  interferen- 
siyalanishi  natijasida  qo'shiluvi  superpozitsiya  deyiladi.
Superpozitsiya  prinsipiga  muvofiq  elektromagnit  to'lqinlari,  suv 
sirtidagi  to'lqinlar,  tovush  to'lqinlari va  boshqa  to'lqinlar  ham  interfer­
ensiyalanadi.  Yuqorida  ko'rdikki,  tajribalarga  binoan  mikrozarralarning 
to'lqin  funksiyalari  ham  difraksion  manzara  hosil  qiladi  va  demak,  ular 
ham  interferensiyalanish  xususyati  egadir.  Agar  1-nuqtada  turgan 
elektr  zaryadi 
t)  elektr  maydon, 
2
-nuqtada  turgan  boshqa  elektr
zaryadi 
t)  elektr  maydon  vujudga  keltirsa  va  ikkala  manba  bir
vaqtda  ishlasa,  u  holda  hosil  qilingan  maydonlar  bir-birining  orasidan 
bemalol  o'tib  superponirlaydi  (taxlanadi)  va  yig'indi  superponirlangan 
maydon vujudga  keladi:
Ë{r, t)  = 
í). 
(119)
Magnit  maydon  ham  xuddi  shunday superponirlanish  xususiyatiga 
egadir.  Elektr  va  magnit  maydonlar  uchun  superpozitsiya  prinsipi 
ularning  (elektr  maydon  to'lqinlarning)  difraksiya  va  interferensiya 
hodisalarini  tushuntirishda  muhim  ahamiyat  kasb  etadi.  Ehtimol  to 'l­
qinlari  ham  interferensiya  va  difraksiyalanishga  moyil-ku  axir!?  Zero 
superpozitsiya  prinsipi  ular  uchun  ham  o'rinli.  To'lqin  funksiyalar 
uchun  superpozitsiya  prinsipini  aniqroq  ta’ riflaylik:  qandaydir  sistema 
(zarra  yoki  zarralar  to'plami)  \|/i,\i/
2
,\|/
3
,...,v„,...  funksiyalar  bilan  tavsi­
flanuvchi  har  xil  fizik  holatlarda  yotgan  bo'lsa,  u  holda  sistema  super­
ponirlangan
¥   -   q V ,  +  CjVa  + ••• +  
+  •••  =  
Z
n
holatda  ham  yotishi  mumkin.  Bunda  Si,  Sj,...  -   kompleks  doimiyliklar, 
bu  doimiyliklar  shunday  bo'lishi  kerakki, 
i),\|/
2
(f
2
i 
0
'
funksi ­
yalar  birga  normalangan  shartda  \f(f,  t)  funksiya  ham  birga  normal­
langan  bo'lishi  kerak.

v   -   holatlar  uchun  yozilgan  superpozitsiya  prinsipi  klassik  mex- 
anikadagi  superpozitsiya  prinsipidan  nimasi  bilan  farq  qiladi?  Bitta
misol  olaylik.  p   impulsga  ega  boigan  holatni  Vi  funksiya  bilan,  -   p  
impulsga  ega  bo'lgan  holatni 
\|/2
  funksiya  bilan  tavsiflaylik.  U  holda 
superponirlangan  holat  funksiyasi  y   ni  bir-biriga  qarama-qarshi
n
yo'nalishda tezlik  moduli  bir xil  V =   —   bo'lgan  zarraning  bir vaqtdagi
m
harakati  sifatida  izohlagan  bo'lamiz.  Klassik  mexanika  nuqtayi  nazari­
dan  bu  mutlaqo  ma’ nosizdir,  Agar  superpozitsiyaga  kiruvchi  holatlar 
bir-biridan  uzluksiz  o'zgaruvchi  biror  fizikaviy  kattalik  bilan  farqlansa, 
u  holda  bunday  funksiyalaming  superpozitsiyasini  integral  ko'rinishda 
yozish  mumkin.  (
11
.
10
)  yig'indi  o'rniga
\)/  =   ^с{1)ц11^(И 
(11.10)
ifodani  yozamiz.  Bunda  L-uzluksiz  o'zgaruvchi  fizikaviy  kattalikning 
qiymati;  \|/^  alohida  holatning  psi  funksiyasi  bo'lib,  u  I   parametrga 
bog'liq;  c(L)dL  -  v|/î, xususiy holat amplitudasi va c(L)  amplituda zichligi.
Shunday  qiiib,  superpozitsiya  prinsipi  murakkab  to'lqinlarni  oddiy 
monoxromatik  to'lqinlarning  yig'indisi  ko'rinishidagi  ifodaga  alma­
shtirib  yozishga  imkon  beradi.  Bu  esa  o 'z  navbatida  murakkab  to'l- 
qinlarni  o'rganishga  qulaylik  tug'diradi.  Matematika  nuqtayi  nazaridan 
bunday  almashtirish  Fure  integraliga  yoki  funksiyani  qatorga  yoyish 
demakdir.  Chiziqli tenglamalar shunday xususiyatga egadirlar.
Murakkab  to'lqinlarni  monoxromatik  tashkil  etuvchilari  yig'indisi 
ko'rinishida  yozish  tabiatning  umumiy  qonunlaridan  biri  bo'lib,  har 
qanday  murakkab  funksiyalarni  monoxromatik  to'lqinlarga  yoyish,  uni 
o'rganishda  katta  imkoniyat  yaratadi.
Murakkab  funksiyani  sinus,  kosinus  yoki  boshqa  funksiyalarga 
yoyish  mumkin.  Matematika  nuqtayi  nazaridan  har  qanday  yoyish 
o'rinlidir.  Murakkab  to'lqinlarni  monoxromatik  tashkil  etuvchilariga 
yoyish  fizika  nuqtayi  nazaridan  ham  o'rinlidar.  Eksperimentds  ayrim 
monoxromatik  tashkil  etuvchilarni  ajratib  olish  mumkin.  Masalan,  op­
tikada  spektrial  asboblar  yordamida  (masalan,  spektrograf,  difraksion 
panjara)  murakkab  nurlanishni  monoxromatik  tashkil  etuvchilariga 
ajratish  mumkin  (oq  nurning  turli  ranglarga  ajralishi).  Mikroolam  fizi­
kasida  difraksion  panjara  vazifasini  metall  sirti  bajaradi  (Devisson  va 
Jermer tajribasini  eslang).
Shunday  ko'rinishdagi 
superpozitsiyaga 
misol  sifatida  erkli 
\|/(x, 
y, z, 
t)  funksiyani  de-Broylning yassi to'lqini
I
4
V p   =  A e x p
-   -!r  (Et  -   p f  ) 
n
(
11
.
12
)
JsL

K V A N T   F I Z I K A S I
bo'yicha  yoyish  mumkin.  (
11
.
12
)  dagi  funksiyaning  indeksidagi  p   uni 
p   impulsga  parametrik b ogiiqligin i  ko'rsatadi.  Bundan  chiqadiki  zar- 
laning  har  qanday  murakkab  holatini  tavsiflovchi to'lqin  funksiyani
\|/(x, y, 
2
, í) =  jJI 
c { p „   Py,  p „
 í V p ( x  y, z, 
t)dp,dp^dp,
 
(11.13)
ko'rinishda  yozish  mumkin.  Bunda  c(p^,  p^,  p^, f)  -   de-Broyl  to'lqin­
larining  amplituda  zichligi va  ular  f{p ,, p^,  p j   impulsga  ega,
Monoxromatik  bo'lmagan  to'lqinlarni  qatorga  yoki  Fure  inte- 
graliga  matematik  yoyish,  umuman  olganda  superpozitsiya  prinsipi 
real  fizikaviy  jarayonlar  -   to'lqinlarni  spektrini  o'lchashda  va  o'rga­
nishda  eng  muhim  quroldir,  Fizikaviy spektrial  asboblarni  ishlash  prin­
sipi  superpozitsiya  prinsipiga  tayanadi.  Shu  jihatdan  superpozitsiya 
prinsipining  kvant  fizikadagi  o'rni  nihoyatda  kattadir.
11.5.  Mikrozarra impulsining ehtimoli
Oldingi  bandlarda  biz  de-Broyl  to'lqinining  statistik  izohiga 
asoslangan  holda  zarra  o'rnini  qayd  qiiinishi  ehtimolini  ko'rib  chiqdik. 
Holatlar  uchun  superpozitsiya  prinsipini  qo'llash  orqali  statistik  izohini 
qo'llanilish  chegarasini  kengaytirish  mumkin.  Natijada,  nafaqat  zarra 
o'rnini  qayd  qiiinishi  ehtimoli,  balki  zarra  impulsini  u  yoki  bu  qiy­
matini  topishga  ham  imkoniyat  yaratiladi.  Superpozitsiya  prinsipi  va 
to'lqin  funksiyasining  statistik  talqini  zarra  holatini  xarakterlovchi 
boshqa  mexanik  kattaliklar,  masalan,  energiya,  harakat  miqdori  mo­
menti  kabilarni  ham  psi-funksiyalar  yordamida  xarakterlash  mumkin 
bo'ladi.  Bu  holni keyingi  boblarda  ko'ramiz.
Shunday  qilib,  to'lqin  funksiya  berilgan  bo'lsa,  u  holda  sistemani 
xarakterlovchi  har  qanday  fizikaviy  kattalikni  statistik  taqsimlanishini 
bu  funksiya  to'la  aniqlaydi.
Mikrozarra  impulsini  o'lchash  uslubiyatini  ko'raylik.  Agar  zarra 
klassik  zarra  bo'lsa,  uning  impulsini  aniqlash  uchun  uning  traektori- 
yasining  xarakterini  tahlil  qilish,  tezlik  yo'naüshi  va  modulini  bilish 
kerak  bo'ladi.  Zarra  kvant  xarakterga  ega  bo'lsa,  u  holda  u  de-Broyl 
to'lqiniga  ega  va  zarra  impulsini  o'lchashni  butunlay yangicha  usuliga 
o'tamiz.  Bu  holda  zarra  impulsi  de-Broylning
p =  hk, 
k  = ^  
(11.14)
A
formulasi  orqali  topiladi.
(11.14) 
formulaga  binoan  zarra  impulsini  bilish  uchun  zarraning 
de-Broyl  to'lqin  uzunligini  topish  kerak.  Optikadan  yaxshi  bilamizki 
(Devisson  va  Jermer  tajribasidan  hsra)  to'lqin  uzunligini  topish  uchun

K V A N T   F I Z I K A S I
difraktsion  panjaradan  foydalanamiz.  Difraksion  panjara  toiqinni  \  va 
\  bo'yicha  spektrga  ajratadi  va  demak,  p  =   ñk  impuls  bo'yicha  zarra
impulsini  sortirovka  (navlarga  ajratish)  qiladi.  Demak,  k.  ni  aniqlovchi 
difraksion  panjara  mikrozarra  impulsini  u  yoki  bu  qiymatining  ehti­
molini topish  uchun xizmat  qiluvchi asbobdir.
Devisson  va  Jermer  tajribasiga  murojaat  qilaylik.  11.5-rasmda 
kristall  sirtida  elektronlar  difraksiyasining  chizmatik  tasviri  keltirilgan. 
Chizmada 
y, Z,  t )  to'lqin  maydonini  hosil  qiluvchi  de-Broyl
to'lqinlarining  superpozitsiyasi  (/)  -   tushayotgan,  sirtdan  qaytayotgan 
(r)  va  difraglangan to'lqinlardan biri  (d)  ko'rsatilgan.
/ 1.5-iasm.
Agar  diafragman}  ko'ndalang  o'lchami  zarraning  de-Broyl  to'lqin 
uzunligidan  katta  bo'lsa  va  diafragma  chekkalarida  sodir  bo'ladigan 
effektlarni  e ’ tiborga  olmasak,  tushayotgan  zarralar  holati  ma’lum  bir 
boshlang'ich  impulsga  ega  bo'lgan  yassi  de-Broyl  to'lqini  bilan  tavsi­
flanadi.
Kristall  sirtidan  qaytayotgan  zarralar  dastasini  ham  impulsni 
ma’ lum  bir  qiymatga  ega  bo'lgan  de-Broyl  to'lqinlari  bilan  tavsif-

f
P',„
t
■Щ
-ГД
 ' 
■
4 1
K V A N T  
f i z i k a s i
lashimiz  mumkin.  Barcha  to'lqin  maydonni  ayrim  dastalarga  tegishli 
bo'lgan  to'lqin  funksiyalarini superpozitsiyasi  ko'rinishida yozamiz:
¥   =   ¿ c ( p , f ) v | > p .  
(1 1 .1 5 )
p
(11.15)  da  yig'indi  barcha  dastalar  bo'yicha  olingan.  Umuman 
qaraganda  kristall  sirtida  elektron  to'plami  aniq  impuls  bilan  xarakter- 
lanmaydi,  chunki  y   -   holat  turh  impulsga  ega  bo'lgan 
4
/,  -   holat­
larning  superpozitsiyasidir.  Shuning  uchun  o'lchash  jarayonida  biz
(11.15)  superpozitsiyaga  tegishli  bo'lgan  holatlardan  faqat  bittasi' 
uchun  p   -   impulsni  aniqlashimiz  mumkin.  O'lchash  jarayonida  p   -  
impulsning  qiymati  r  ga  teng  bo'lish  imkoniyati  qancha?  Buni  bihsh 
uchun 
T
 
-   impulsga  ega  bo'lgan  zarralar  sonini  statistik  hisoblash 
kerak bo'ladi.  Shu  maqsadda kristall  sirtidan  ma’ lum bir  masofada  zar­
ralar  sonini  hisoblovchi  sanog'ich  (yarim  o'tkazgichli  detektor  yoki 
Faradey  silindri)  qo'yamiz.  x,  y,  z  koordinataga  ega  bo'lgan  sanog'ich 
tirqishiga  kelib  tushayotgan  zarralar  sonining  ehtimoli,  to'lqin  funksi­
yaning  statistik  izohiga  ko'ra  \j/(x, y, z, i f   ga  proporsional.  Difraksion
panjara  vazifasini  bajaruvchi  kristall  sirti  to'lqin  maydonni  monoxro­
matik  to'lqinlar  dastasiga  bo'lib  tashlaydi  (bu  xuddi  oq  numi  ayrim 
rangli  nurlarga  ajratuvchi  prizmaga  o'xshaydi).  p   -   impulsga  ega
bo'lgan  zarralar  sonini  hisoblash  uchun  Faradey  silindrini  turli  holat- 
larga  qo'yish  kifoya.  Kristall  sirti  yaqinida  barcha  dastalaming  inter­
ferensiyasi  tufayU  to'lqin  maydon  murakkab  xarakterga  ega.  Kris- 
talldan  ma’ lum  bir  uzoqlikda  dastalar  bir-biridan  yaxshiroq  ajraladi. 
Agar  Faradey  silindri  kristalldan  yetarlicha  uzoqroq  masofaga  qo'ysak,
ayrim  dastalar bir-biridan  ajralgan  bo'ladi va  (чг(х, y, z, t f   ni
y, z, i f   =  |c(pf |vji Дх, y, z, ( f  
(11.16)
ko'rinishda yozish  mumkin  bo'ladi.
(11.16)  ifoda  faqat  bitta  dasta  uchun  yozilgan  ifoda  bo'lib,  u  shu 
yo'nalishida  qo'yilgan  Faraday  silindriga  tushayotgan  zarralarni
(elektronlami)  hisoblaydi.  \)/(jç, y, z, f f  ga  boshqa  to'lqinlarning  ulushi
juda ham kichikdir.  (11.16)  formulaga  (
11
,
2
)  ifodani  qo'ysak
d p ( p ,   f ) ~   } c ( p ,   i f  
(11.17)
hosil bo'ladi.
p   -   impulsga  ega  bo'lgan  elektronlami  barcha  diafraglangan 
zarralar  ichida  qayd  qilinish  ehtimoli  |c(p,  f f   ga  proporsionaldir. 
De-Broylning  normalangan  to'lqin  funksiyasi
7 3/1

K V A N T   F I Z I K A S I
\|/ p(x, y, z.  f) = 
desak,  u  holda
1 -  
e x p   - ^ { E t   -   p T )  
^ l ( 2 n h f
 
L 
Ä
(11.19)
ni  hosil  qilamiz.  Bu  holda  dastadan  tashqarida  c(p ) =   0.  Shu  sababli
(11.13)  dan  farqli  ravishda  (11.1)  amplitudasi  faqat  koordinatalar  funk­
siyasi  boiadi.  c ( p )   -   amplituda  dasta  yo'nalishiga  perpendikulär
holda  juda  sekin  o'zgaradi.  Shunday  qilib,  Faradey  silindn  \)/^  -  
to'lqin  yo'nalishida  o'rnatilgan bo'lsa,  u  holda  Faradey silindrida  elek­
tronlarning  qayd  qilinishi  ehtimoli  c(p, 
ga  proporsionaldir.  Bunday
to'lqinlarga 
p  
—  impulsga  ega bo'lgan  elektronlargina tegishlidir.
Px<  Py’  Pz  bilan 
+ dp^,  Py + dpy,  p^  + dp^  intervali  orasida 
zarra  impulsini  o'lchashning  elementar  ehtimoli  dp^dp^dp^  -   elemen­
tar hajmga  proporsionaldir.  U  holda  (11.17)  ni
d f { p , .   Py,  Pz,  t )   =
  ¡c(p „  Py,  p „ 
t f   ■  d p ß p y d p ^
 
(11-20)
ko'rinishida  yozsak bo'ladi.
Impuls  taqsimlanishining  ehtimol  zichligi
dpAPydp,
formula  bilan  aniqlanadi  va  uning  uchun  normalash  sharti 
J ÍIK p ,,  Py,  Pz, t f   ■ dp^dpydp^  =  I
ko'rinishga  ega.
Umuman  olganda  Fure  qatoridan  foydalanib,