Economic Growth Second Edition

1.2.9
An Example: Cobb–Douglas Technology
We can illustrate the results for the case of a Cobb–Douglas production function (equa-
tion [1.11]). The steady-state capital-labor ratio is determined from equation (1.20) as
k
∗
= [s A/(n + δ)]
1
/(1−α)
(1.27)
Note that, as we saw graphically for a more general production function f
(k), k
∗
rises with
the saving rate s and the level of technology A, and falls with the rate of population growth
n and the depreciation rate
δ. The steady-state level of output per capita is given by
y
∗
= A
1
/(1−α)
· [s/(n + δ)]
α/(1−α)
Thus y
∗
is a positive function of s and A, and a negative function of n and
δ.
Along the transition, the growth rate of k is given from equation (1.23) by
˙k/k = s Ak
−(1−α)
− (n + δ)
(1.28)
If k
(0) < k
∗
, then ˙
k
/k in equation (1.28) is positive. This growth rate declines as k rises
and approaches 0 as k approaches k
∗
. Since equation (1.24) implies
˙y/y = α · ( ˙k/k), the
behavior of
˙y/y mimics that of ˙k/k. In particular, the lower y(0), the higher ˙y/y.

---

44
Chapter 1
A Closed-Form Solution
It is interesting to notice that, when the production function is
Cobb–Douglas and the saving rate is constant, it is possible to get a closed-form solution
for the exact time path of k. Equation (1.28) can be written as
˙k · k
−α
+ (n + δ) · k
1
−α
= s A
If we define
v ≡ k
1
−α
, we can transform the equation to

1
1
− α

· ˙v + (n + δ) · v = s A
which is a first-order, linear differential equation in
v. The solution to this equation is
v ≡ k
1
−α
=
s A
(n + δ)
+

[k
(0)]
1
−α
−
s A
(n + δ)

· e
−(1−α) · (n+δ) · t
The last term is an exponential function with exponent equal to
−(1 − α) · (n + δ). Hence,
the gap between k
1
−α
and its steady-state value, s A
/(n +δ), vanishes exactly at the constant
rate
(1 − α) · (n + δ).