Economic Growth Second Edition

(c) in equation (2.1) by family size, L = e
nt
, represents the adding
up of utils for all family members alive at time t. The other multiplier, e
−ρt
, involves the
rate of time preference,
ρ > 0. A positive value of ρ means that utils are valued less the later
they are received.
3
We assume
ρ > n, which implies that U in equation (2.1) is bounded if
c is constant over time.
One reason for
ρ to be positive is that utils far in the future correspond to consumption of
later generations. Suppose that, starting from a point at which the levels of consumption per
person in each generation are the same, parents prefer a unit of their own consumption
to a unit of their children’s consumption. This parental “selfishness” corresponds to
ρ > 0
in equation (2.1). In a fuller specification, we would also distinguish the rate at which
individuals discount their own flow of utility at different points in time (for which
ρ = 0
might apply) from the rate that applies across generations. Equation (2.1) assumes, only for
reasons of tractability, that the discount rate within a person’s lifetime is the same as that
across generations.
It is also plausible that parents would have diminishing marginal utility with respect to
the number of children. We could model this effect by allowing the rate of time preference,
2. The results will be invariant with positive linear transformations of the utility function but not with arbitrary
positive, monotonic transformations. Thus, the analysis depends on a limited form of cardinal utility. See Koopmans
(1965) for a discussion.
3. Ramsey (1928) preferred to assume
ρ = 0. He then interpreted the optimizing agent as a social planner, rather than
a competitive household, who chose consumption and saving for today’s generation as well as for future generations.
The discounting of utility for future generations
(ρ > 0) was, according to Ramsey, “ethically indefensible.” We
work out an example with
ρ = 0 in the mathematics chapter.

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Chapter 2
ρ, to increase with the population growth rate, n.
4
Because we treat n as exogenous, this
dependence of
ρ on n would not materially change the analysis in this chapter. We shall,
however, consider this effect in chapter 9, which allows for an endogenous determination
of population growth.
Households hold assets in the form of ownership claims on capital (to be introduced
later) or as loans. Negative loans represent debts. We continue to assume a closed economy,
so that no assets can be traded internationally. Households can lend to and borrow from
other households, but the representative household will end up holding zero net loans in
equilibrium. Because the two forms of assets, capital and loans, are assumed to be perfect
substitutes as stores of value, they must pay the same real rate of return, r
(t). We denote
the household’s net assets per person by a
(t), where a(t) is measured in real terms, that is,
in units of consumables.
Households are competitive in that each takes as given the interest rate, r
(t), and the wage
rate,
w(t), paid per unit of labor services. We assume that each adult supplies inelastically
one unit of labor services per unit of time. (Chapter 9 considers a labor/leisure choice.)
In equilibrium, the labor market clears, and the household obtains the desired quantity of
employment. That is, the model abstracts from “involuntary unemployment.”
Since each person works one unit of labor services per unit of time, the wage income
per adult person equals
w(t). The total income received by the aggregate of households is,
therefore, the sum of labor income,
w(t)·L(t), and asset income, r(t)·(Assets). Households
use the income that they do not consume to accumulate more assets:
d
(Assets)
dt
= r · (Assets) + wL − C
(2.2)
where we omit time subscripts whenever no ambiguity results. Since a is per capita assets,
we have
˙a =

1
L

·

d
(Assets)
dt

− na
Therefore, if we divide equation (2.2) by L, we get the budget constraint in per capita terms:
˙a = w + ra − c − na
(2.3)
4. One case common in the growth literature assumes that
ρ rises one to one with n; that is, ρ = ρ
∗
+ n, where
ρ
∗
is the positive rate of time preference that applies under zero population growth. In this case, utility at time t
enters into equation (2.1) as u
(c)e
−ρ
∗
t
, which depends on per capita utility, but not on the size of the family at
time t. This specification is used, for example, by Sidrauski (1967) and Blanchard and Fischer (1989, chapter 2).

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Growth Models with Consumer Optimization
89
If each household can borrow an unlimited amount at the going interest rate, r
(t), it has
an incentive to pursue a form of chain letter or Ponzi game. The household can borrow to
finance current consumption and then use future borrowings to roll over the principal and
pay all the interest. In this case, the household’s debt grows forever at the rate of interest,
r
(t). Since no principal ever gets repaid, today’s added consumption is effectively free.
Thus a household that can borrow in this manner would be able to finance an arbitrarily
high level of consumption in perpetuity.
To rule out chain-letter possibilities, we assume that the credit market imposes a constraint
on the amount of borrowing. The appropriate restriction turns out to be that the present value
of assets must be asymptotically nonnegative, that is,
lim
t
→∞

a
(t) · exp

−

t
0
[r
(v) − n] dv

≥ 0
(2.4)
This constraint means that, in the long run, a household’s debt per person (negative values
of a[t]) cannot grow as fast as r
(t) − n, so that the level of debt cannot grow as fast as r(t).
This restriction rules out the type of chain-letter finance that we have described. We show
later how the credit-market constraint expressed in equation (2.4) emerges naturally from
the market equilibrium.
The household’s optimization problem is to maximize U in equation (2.1), subject to the
budget constraint in equation (2.3), the stock of initial assets, a
(0), and the limitation on bor-
rowing in equation (2.3). The inequality restrictions, c
(t) ≥ 0, also apply. However, as c(t)
approaches 0, the Inada condition implies that the marginal utility of consumption becomes
infinite. The inequality restrictions will therefore never bind, and we can safely ignore them.