Economic Growth Second Edition

2.1.2
First-Order Conditions
The mathematical methods for this type of dynamic optimization problem are discussed
in the appendix on mathematics at the end of the book. We use these results here without
further derivation. Begin with the present-value Hamiltonian,
J
= u[c(t)] · e
−(ρ−n)t
+ ν(t) · {w(t) + [r(t) − n] · a(t) − c(t)}
(2.5)
where the expression in braces equals
˙a from equation (2.3). The variable ν(t) is the present-
value shadow price of income. It represents the value of an increment of income received at
time t in units of utils at time 0.
5
Notice that this shadow price depends on time because there
5. We could deal alternatively with the shadow price
νe
(ρ−n)t
. This shadow price measures the value of an increment
of income at time t in units of utils at time t. (See the discussion in the appendix on mathematics at the end of the
book.)

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Chapter 2
is one of them for each “constraint,” and the household faces a continuum of constraints,
one for each instant. The first-order conditions for a maximum of U are
∂ J
∂c
= 0 ⇒ ν = u

(c)e
−(ρ−n)t
(2.6)
˙ν = −∂ J/∂a ⇒ ˙ν = −(r − n) · ν
(2.7)
The transversality condition is
lim
t
→∞
[
ν(t) · a(t)] = 0
(2.8)
The Euler Equation
If we differentiate equation (2.6) with respect to time and substitute
for
ν from this equation and for ˙ν from equation (2.7), we get the basic condition for
choosing consumption over time:
r
= ρ −

du

/dt
u


= ρ −

u

(c) · c
u

(c)

· ( ˙c/c)
(2.9)
This equation says that households choose consumption so as to equate the rate of return,
r , to the rate of time preference,
ρ, plus the rate of decrease of the marginal utility of
consumption, u

, due to growing per capita consumption, c
.
The interest rate, r , on the left-hand side of equation (2.9) is the rate of return to saving.
The far right-hand side of the equation can be viewed as the rate of return to consump-
tion. Agents prefer to consume today rather than tomorrow for two reasons. First, because
households discount future utility at rate
ρ, this rate is part of the rate of return to con-
sumption today. Second, if
˙c/c > 0, c is low today relative to tomorrow. Since agents like to
smooth consumption over time—because u

(c) < 0—they would like to even out the flow
by bringing some future consumption forward to the present. The second term on the far
right picks up this effect. If agents are optimizing, equation (2.9) says that they have equated
the two rates of return and are therefore indifferent at the margin between consuming and
saving.
Another way to view equation (2.9) is that households would select a flat consumption
profile, with
˙c/c = 0, if r = ρ. Households would be willing to depart from this flat pattern
and sacrifice some consumption today for more consumption tomorrow—that is, tolerate
˙c/c > 0—only if they are compensated by an interest rate, r, that is sufficiently above ρ.
The term [
−u

(c)·c
u

(c)
]
·( ˙c/c) on the right-hand side of equation (2.9) gives the required amount
of compensation. Note that the term in brackets is the magnitude of the elasticity of u

(c)
with respect to c. This elasticity, a measure of the concavity of u
(c), determines the amount
by which r must exceed
ρ. If the elasticity is larger in magnitude, the required premium of
r over
ρ is greater for a given value of ˙c/c.

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Growth Models with Consumer Optimization
91
The magnitude of the elasticity of marginal utility,
{[−u

(c) · c]/[u

(c)]}, is sometimes
called the reciprocal of the elasticity of intertemporal substitution.
6
Equation (2.9) shows
that to find a steady state in which r and
˙c/c are constant, this elasticity must be constant
asymptotically. We therefore follow the common practice of assuming the functional form
u
(c) =
c
(1−θ)
− 1
(1 − θ)
(2.10)
where
θ > 0, so that the elasticity of marginal utility equals the constant −θ.
7
The elasticity
of substitution for this utility function is the constant
σ = 1/θ. Hence, this form is called
the constant intertemporal elasticity of substitution (CIES) utility function. The higher is
θ,
the more rapid is the proportionate decline in u

(c) in response to increases in c and,
hence, the less willing households are to accept deviations from a uniform pattern of c over
time. As
θ approaches 0, the utility function approaches a linear form in c; the linearity
means that households are indifferent to the timing of consumption if r
= ρ applies.
The form of u
(c) in equation (2.10) implies that the optimality condition from equa-
tion (2.9) simplifies to
˙c/c = (1/θ) · (r − ρ)
(2.11)
Therefore, the relation between r and
ρ determines whether households choose a pattern of
per capita consumption that rises over time, stays constant, or falls over time. A lower will-
ingness to substitute intertemporally (a higher value of
θ) implies a smaller responsiveness
of
˙c/c to the gap between r and ρ.