Economic Growth Second Edition

2.6.4
Behavior of the Saving Rate
The gross saving rate, s, equals 1
− ˆc/f (ˆk). The Solow–Swan model, discussed in chapter 1,
assumed that s was constant at an arbitrary level. In the Ramsey model with optimizing
consumers, s can follow a complicated path that includes rising and falling segments as the
economy develops and approaches the steady state.

---

Growth Models with Consumer Optimization
107
Heuristically, the behavior of the saving rate is ambiguous because it involves the offset-
ting impacts from a substitution effect and an income effect. As ˆk rises, the decline in f

(ˆk)
lowers the rate of return, r , on saving. The reduced incentive to save—an intertemporal-
substitution effect—tends to lower the saving rate as the economy develops. Second, the
income per effective worker in a poor economy, f
(ˆk), is far below the long-run or permanent
income of this economy. Since households desire to smooth consumption, they would like
to consume a lot in relation to income when they are poor; that is, the saving rate would be
low when ˆk is low. As ˆk rises, the gap between current and permanent income diminishes;
hence, consumption tends to fall in relation to current income, and the saving rate tends to
rise. This force—an income effect—tends to raise the saving rate as the economy develops.
The transitional behavior of the saving rate depends on whether the substitution or income
effect is more important. The net effect is ambiguous in general, and the path of the saving
rate during the transition can be complicated. The results simplify, however, for a Cobb–
Douglas production function. Appendix 2C shows for this case that, depending on parameter
values, the saving rate falls monotonically, stays constant, or rises monotonically as ˆk rises.
We show in Appendix 2C for the Cobb–Douglas case that the steady-state saving rate,
s
∗
, is given by
s
∗
= α · (x + n + δ)/(δ + ρ + θx)
(2.34)
Note that the transversality condition, which led to equation (2.31), implies s
∗
< α in equa-
tion (2.34); that is, the steady-state gross saving rate is less than the gross capital share.
We can use a phase diagram to analyze the transitional behavior of the saving rate for
the case of a Cobb–Douglas production function. The methodology is interesting more
generally because it provides a way to study the behavior of variables of interest, such as
the saving rate, that do not enter directly into the first-order conditions of the model. The
method involves transformations of the variables that appear in the first-order conditions.
The dynamic relations that we used before were written in terms of the variables ˆc and ˆk.
To study the transitional behavior of the saving rate, s
= 1 − ˆc/ ˆy, we want to rewrite these
relations in terms of the variables ˆc
/ ˆy and ˆk. Then we will be able to construct a phase
diagram in terms of ˆc
/ ˆy and ˆk. The stable arm of such a phase diagram will show how
ˆc
/ ˆy—and, hence, s = 1 − ˆc/ ˆy—move as ˆk increases.
We start by noticing that the growth rate of ˆc
/ ˆy is given by the growth rate of ˆc minus
the growth rate of ˆy
. If the production function is Cobb–Douglas, the growth rate of ˆy is
proportional to the growth rate of ˆk, that is,
1
ˆc
/ ˆy
·
d
(ˆc/ ˆy)
dt
= (˙ˆc/ˆc) − (˙ˆy/ ˆy) = (˙ˆc/ˆc) − α · (˙ˆk/ˆk)

---

108
Chapter 2
We can now use the equilibrium conditions shown in equations (2.24) and (2.25) to get
1
ˆc
/ ˆy
·
d
(ˆc/ ˆy)
dt
= [(1/θ) · (α Aˆk
α−1
− δ − ρ − θx)]
− α · [Aˆk
α−1
− (ˆc/ ˆy) · Aˆk
α−1
− (x + n + δ)]
(2.35)
where we used the equality ˆc
/ˆk = (ˆc/ ˆy) · Aˆk
α−1
. The growth rate of ˆk is
˙ˆk/ˆk = [Aˆk
α−1
− (ˆc/ ˆy) · Aˆk
α−1
− (x + n + δ)]
(2.36)
Notice that equations (2.35) and (2.36) represent a system of differential equations in
the variables ˆc
/ ˆy and ˆk. Therefore, a conventional phase diagram can be drawn in terms of
these two variables.
We start by setting equation (2.35) to zero to get the
d
(ˆc/ ˆy)
dt
= 0 locus:
ˆc
/ ˆy =

1
−
1
θ

+ ψ ·
ˆk
1
−α
α A
(2.37)
where
ψ ≡ [(δ + ρ + θx)/θ − α · (x + n + δ)] is a constant. This locus is upward sloping,
downward sloping, or horizontal depending on whether
ψ is positive, negative, or zero. The
three possibilities are depicted in figure 2.3.
Independently of the value of
ψ, the arrows above the
d
(ˆc/ ˆy)
dt
= 0 locus point north, and
the arrows below the schedule point south.
We can find the ˙ˆk
= 0 locus by setting equation (2.35) to zero to get
ˆc
/ ˆy = 1 −
(x + n + δ)
A
· ˆk
1
−α
(2.38)
which is unambiguously downward sloping.
24
Arrows point west above the schedule and
east below the schedule.
The three panels of figure 2.3 show that the steady state is saddle-path stable regardless of
the value of
ψ. The stable arm, however, is upward-sloping when ψ > 0, downward-sloping
when
ψ < 0, and horizontal when ψ = 0. Following the reasoning of previous sections,
we know that an infinite-horizon economy always finds itself on the stable arm. Thus,
depending on parameter values, the consumption ratio falls monotonically, stays constant,
or rises monotonically as ˆk rises. The saving rate, therefore, behaves exactly the opposite.
A high value of
θ—which corresponds to a low willingness to substitute consumption
intertemporally—makes it more likely that
ψ < 0 will hold, in which case the saving rate
24. When
ψ < 0, the
d ˆk
dt
= 0 locus is also steeper than the
d
(ˆc/ ˆy)
dt
= 0 schedule.

---

Growth Models with Consumer Optimization
109
1
兾
  s
*
1
兾

s
s
*
1
兾

1
兾
  s
*
s
s
*
s
*
 
 1兾

1
兾
 
 s
*
s
(b)
(c)
(a)
kˆ
kˆ
kˆ