Economic Growth Second Edition

2.6.6
Speeds of Convergence
Log-Linear Approximations Around the Steady State
We want now to provide a quan-
titative assessment of the speed of convergence in the Ramsey model. We begin with a
log-linearized version of the dynamic system for ˆk and ˆc, equations (2.24) and (2.25). This
approach is an extension of the method that we used in chapter 1 for the Solow–Swan
model; the only difference here is that we have to deal with a two-variable system instead
of a one-variable system. The advantage of the log-linearization method is that it provides
a closed-form solution for the convergence coefficient. The disadvantage is that it applies
only as an approximation in the neighborhood of the steady state.
Appendix 2A examines a log-linearized version of equations (2.24) and (2.25) when
expanded around the steady-state position. The results can be written as
log[ ˆy
(t)] = e
−βt
· log[ ˆy(0)] + (1 − e
−βt
) · log( ˆy
∗
)
(2.40)
where
β > 0. Thus, for any t ≥ 0, log[ ˆy(t)] is a weighted average of the initial and steady-
state values, log[ ˆy
(0)] and log( ˆy
∗
), with the weight on the initial value declining ex-
ponentially at the rate
β. The speed of convergence, β, depends on the parameters of
technology and preferences. For the case of a Cobb–Douglas technology, the formula for
the convergence coefficient (which comes from the log-linearization around the steady-state
position) is
2
β =

ζ
2
+ 4 ·

1
− α
θ

· (ρ + δ + θx) ·

ρ + δ + θx
α
− (n + x + δ)

1
/2
− ζ (2.41)
where
ζ = ρ − n − (1 − θ) · x > 0. We discuss below the way that the various parameters
enter into this formula.

---

112
Chapter 2
Equation (2.40) implies that the average growth rate of per capita output, y, over an
interval from an initial time 0 to any future time T
≥ 0 is given by
(1/T ) · log[y(T )/y(0)] = x +
(1 − e
−βT
)
T
· log[ ˆy
∗
/ ˆy(0)]
(2.42)
Hold fixed, for the moment, the steady-state growth rate x, the convergence speed
β, and
the averaging interval T . Then equation (2.42) says that the average per capita growth rate
of output depends negatively on the ratio of ˆy
(0) to ˆy
∗
. Thus, as in the Solow–Swan model,
the effect of the initial position, ˆy
(0), is conditioned on the steady-state position, ˆy
∗
. In other
words, the Ramsey model also predicts conditional, rather than absolute, convergence.
The coefficient that relates the growth rate of y to log[ ˆy
∗
/ ˆy(0)] in equation (2.42),
(1 − e
−βT
)/T , declines with T for given β. If ˆy(0) < ˆy
∗
, so that growth rates decline over
time, an increase in T means that more of the lower future growth rates are averaged with
the higher near-term growth rates. Therefore, the average growth rate, which enters into
equation (2.42), falls as T rises. As T
→ ∞, the steady-state growth rate, x, dominates the
average; hence, the coefficient
(1 − e
−βT
)/T approaches 0, and the average growth rate of
y in equation (2.42) tends to x.
For a given T , a higher
β implies a higher coefficient (1 − e
−βT
)/T . (As T → 0, the
coefficient approaches
β.) Equation (2.41) expresses the dependence of β on the underlying
parameters. Consider first the case of the Solow–Swan model in which the saving rate is
constant. As noted before, this situation applies if the steady-state saving rate, s
∗
, shown in
equation (2.34) equals 1
/θ or, equivalently, if the combination of parameters α · (δ + n) −
(δ + ρ)/θ − x · (1 − α) equals 0.
Suppose that the parameters take on the baseline values that we used in chapter 1:
δ = 0.05 per year, n = 0.01 per year, and x = 0.02 per year. We also assume ρ = 0.02
per year to get a reasonable value for the steady-state interest rate,
ρ + θx. As mentioned
in a previous section, for these benchmark parameter values, the saving rate is constant if
α = 0.3 when θ = 17 and if α = 0.75 when θ = 1.75.
With a constant saving rate, the formula for the convergence speed,
β, simplifies from
equation (2.41) to the result that applied in equation (1.45) for the Solow–Swan model:
β
∗
= (1 − α) · (x + n + δ)
We noted in chapter 1 that a match with the empirical estimate for
β of roughly 0.02 per
year requires a value for
α around 0.75, that is, in the range in which the broad nature of
capital implies that diminishing returns to capital set in slowly. Lower values of x
+ n + δ
reduce the required value of
α, but plausible values leave α well above the value of around
0.3, which would apply to a narrow concept of physical capital.

---

Growth Models with Consumer Optimization
113
In the case of a variable saving rate, equation (2.41) determines the full effects of the
various parameters on the convergence speed. The new element concerns the tilt of the
time path of the saving rate during the transition. If the saving rate falls with ˆk, the conver-
gence speed would be higher than otherwise, and vice versa. For example, we found before
that a higher value of the intertemporal-substitution parameter,
θ, makes it more likely that
the saving rate would rise with ˆk. Through this mechanism, a higher
θ reduces the speed of
convergence,
β, in equation (2.41).
If the rate of time preference,
ρ, increases, the level of the saving rate tends to fall (see
equation [2.34]). The effect on the convergence speed depends, however, not on the level of
the saving rate but on the tendency for the saving rate to rise or fall as the economy develops.
A higher
ρ tends to tilt downward the path of the saving rate. The effective time-preference
rate is
ρ + θ · ˙c/c. Because ˙c/c is inversely related to ˆk, the impact of ρ on the effective
time-preference rate is proportionately less the lower is ˆk. Therefore, the saving rate tends
to decrease less the lower ˆk, and, hence, the time path of the saving rate tilts downward. A
higher
ρ tends accordingly to raise the magnitude of β in equation (2.41).
It turns out with a variable saving rate that the parameters
δ and x tend to raise β, just
as they did in the Solow–Swan model. The overall effect from the parameter n becomes
ambiguous but tends to be small in the relevant range.
25
The basic result, which holds with a variable or constant saving rate, is that, for plausible
values of the other parameters, the model requires a high value of
α—in the neighborhood
of 0.75—to match empirical estimates of the speed of convergence,
β. We can reduce the
required value of
α to 0.5–0.6 if we assume very high values of θ (in excess of 10) along
with a value of
δ close to 0. We argued before, however, that very high values of θ make
the steady-state saving rate too low, and values of
δ near 0 are unrealistic. In addition,
as we show later, values of
α that are much below 0.75 generate counterfactual predictions
about the transitional behavior of the interest rate and the capital-output ratio. We discuss
in chapter 3 how adjustment costs for investment can slow down the rate of convergence,
but this extension does not change the main conclusions.