Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

109

f   n 
\
0 

  < да  u  holda
Z„  =
X  
x , 
- M  
X  
X
. 
X  
X ,  -
,=1 
V 
==1
 
у  
==1
n a
(   n
 
^
D
X
X ,
V i=1 
у
t.m .ning  taqsim ot
qonuni  n > д а   da standart norm al taqsim otga intiladi
л 
x
F
Z
n (x) = P{Z
n 
< 4  
>Ф(x) = ^
  J  ^
dt . 
(5.3.1)
n
D em ak,  (5.3.1)  ga  k o 'ra   yetarlicha  katta  n  larda  Z n ~ N ( 0,1), 
Sn = X 1+... + X n 
y ig 'in d i 
esa 
quyidagi 
norm al 
qonun 
b o 'y ich a
n
taqsim langan  bo'ladi:  Sn  ~ N ( n a , \fn.  B u  holda  2 X >
  t.m.  asim ptotik
i=1
norm al taqsim langan deyiladi.
A gar X  t.m.  uchun  M X  = 0, D X  = 1  b o 'ls a  X  t.m.  m arkazlashtirilgan va 
norm allashtirilgan(yoki  standart)  t.m.  deyiladi.  (5.3.1)  form ula  yordam ida 
yetarlicha  katta  n  larda  t.m .lar  y ig 'in d isi  bilan  b o g 'liq   hodisalar
n
ehtim olligini  hisoblash  m um kin. 
S
n 
= X Х г 
t.m .ni  standartlashtirsak, 
yetarlicha katta n larda
i= 1
P
\
а
<
Х Х 1
<
р
\  = 
P
t= 1
a -  na
n
X
x
,  -
na
<
i  =1
4 n  
(Jyfn
<
( -  na 
ayfn
Ф
r-v/n
- Ф
-yfn
yoki
P { a  < S n  < ( }  « Ф
r ( - M S '
■JDS
,
Ф
Г a - M S ?
4
d s
„
(5.3.2)
5.2-m isol. 
X t  b o g 'liq siz  t.m .lar  [0,1]  oraliqda  tekis  taqsim langan
100
b o 'lsa, 
y
 = X X   t.m .ning  taqsim ot  qonunini  toping  v a  P{55 < Y < 70}
i=1
ehtim ollikni hisoblang.
>
110

M arkaziy  lim it  teorem a  shartlari  bajarilganligi  uchun,  Y   t.m .ning
( y-MY )2
zichlik funksiyasi  f Y (y)'
2
j
2
7TJ,.
b o 'lad i.  Tekis taqsim ot m atem atik
kutilm asi  v a  dispersiyasi  form ulasidan  M X i  = ——  = —,  D X t  =  ^ 
= —
f  
1
—
—
 
л 
1
 —
—
 
i
X  X,  = y  M X ,  = 1—
—
 ■ -  = 5—,
5 ^ 3
bo'ladi.  U  holda  M Y  = M
D Y  = D
100
У
 X  
=
y  D X   =
  ш
 
■—   =
4—1  1 
i—i 
1
 
I  ") 
П
V i=1
 
J  
i=1 
1 2
 
3
V i=1 
J  i=1
J
Y   =
3
shuning 
uchun,
f Y   ( У )
3
5yf6
■e
3( У-5—
)2 
5—
n
.  (5.3.2)  form ulaga k o ' ra,
P {55 < 
< 7—
} * Ф
f  
\
f  
\
7— -  5—
- Ф
55 -  5—
5^3
5^3
V 
3 
J
V 
3 
J
ф (  A43 ) -
ф
( 4
з
 
—.—
4.
V  b o b g a  d o ir  m is o lla r
1.  B o g 'liq siz  bir  xil  taqsim langan 
x
1,
x
2,..., X n,... 
t.m .lar  ketm a-
ketligining taqsim ot qonuni berilgan
Xn
a
-  a
P
n
n +1
2n +1
2n +1
B u ketm a-ketlik K.S.Q.  bo'ysunadim i?
2.  B o g 'liq siz  bir  xil  taqsim langan 
x
1,
x
2,..., X n,... 
t.m .lar  ketm a-
ketligining taqsim ot qonuni berilgan
X
-  na
n
0
na
P
1/2n
1 - 1  
2
n
1/2n
B u ketm a-ketli k K.S.Q.  bo'ysunadim i?
3. 
D iskret t.m.  taqsim ot qonuni 
berilgan:
X' 
0.1
0.4
0.6
P
0.2
0.3
0.5
111

Chebishev tengsizligidan foydalanib  |
x
 -  M X < 4—4  ni baholang.
4.  X
1
, x 2,..., X , ,...  bog'liqsiz  t.m.lar  ketma-ketligi  quyidagi  taqsimotga 
ega  bo'lsin:  P { x n  = ± 2 n }= 2 -(2n+1),  p { x n  = —} = 1 -  2~2n.  Bu  t.m.lar  uchun 
K.S.Q.  o'rinlimi?
5.  Detalning  nostandart  bo'lish  ehtimolligi  0.2  ga teng.  400  ta  detaldan 
iborat  partiyada  nostandart  detal  chiqishning  chastotasi  va  ehtimoli 
orasidagi  farqning  moduli  0.05  dan  kichik  bo'lishini  ehtimolligini 
baholang.
6.  Chebishev tengsizligidan foydalanib,  quyidagi ehtimollikni baholang: 
simmetrik  tanga  500  marta  tashlanganda  gerb  tushushlari  soni  к   uchun 
2—— < к < 3——
 o'rinli.
112