Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

п^ш
  n 
n
Statistik  ehtim ollikning  kam chiligi  shundan  iboratki,  bu  yerda 
statistik  ehtim ollik  yagona  emas.  M asalan,  tanga  tashlash  tajribasida 
ehtim ollik  sifatida  nafaqat  0.5,  balki  0.49  yoki  0.51  ni  ham   olishim iz 
m um kin.  E htim ollikni  aniq  hisoblash  uchun  katta  sondagi  tajribalar 
o ‘tkazishni  talab  qiladi,  bu  esa  am aliyotda  k o ‘p  vaqt  va  xarajatlarni  talab 
qiladi.
Statistik ehtim ollik quyidagi xossalarga ega:
1.  0 < P (A ) < 1;
2.  P (0 ) = 0;
3. 
p
(Q) = 1;
4.  A • B = 0   b o ‘lsa,  u holda  P (A + B) = P(A) + P ( B ) ;
nA
Isboti.  1)  Ihtiyoriy  A  hodisaning  chastotasi  uchun  0 < П
а  
< n ^  0 < 
—
 
< 1. 
E tarlicha katta n lar uchun  —  -  
P(A) 
b o ‘lgani uchun  0 < P(A ) < 1  b o ‘ladi.
П
а
2) M um kin b o ‘lm agan hodisa uchun nA=0.
3) M uqarrar hodisaning chastotasi nA=n.
4) A gar  A • в  = 0   b o ‘lsa,  u holda  n A+B  = nA  + n B  va
P(A + B) -  ПА+В =  П
а
  + Пв  = ПА + ПВ -  P(A) + P (B ) . 
■
n 
n 
n 
n
1.6  E h tim o llik n in g  k la ssik  t a ’rifi
Q  chekli  n  ta  teng  im koniyatli  elem entar  hodisalardan  tashkil  topgan 
b o ‘lsin.
S  
a
  hodisaning  ehtim olligi  deb,  A  hodisaga  qulaylik  yaratuvchi 
elem entar hodisalar soni k  ning  tajribadagi barcha elem entar hodisalar soni 
n ga nisbatiga aytiladi.
p( a ) = N A ) = -  
(1 6 .1 )
N (Q) 
п
16

K lassik  ta ’rifdan  foydalanib,  ehtim ollik  hisoblashda  kom binatorika 
elem entlaridan  foydalaniladi.  Shuning  uchun  kom binatorikaning  b a ’zi 
elem entlari  keltiram iz.  K om binatirikada  q o ‘shish  va  k o ‘paytirish  qoidasi 
deb ataluvchi  ikki m uhim  qoida mavjud.
a
 = { a , a ,.., an}  v a  в  = {Ъ, Ъ2,..., Ъи}  chekli to ‘plam lar berilgan b o ‘lsin.
S   Q o ‘shish  qoidasi:  agar  A  to ‘plam   elem entlari  soni  n  v a  B  to ‘plam  
elem entlari  soni  m  b o ‘lib,  A • в  = 0  ( A  va  в   to ‘plam lar  kesishm aydigan) 
b o ‘lsa,  u holda  A +в   to ‘plam  elem entlari  soni n+m  b o ‘ladi.
S   K o ‘paytirish  qoidasi:  A  v a  B  to ‘plam lardan  tuzilgan  barcha  ( a , Ъ})
ju ftlik lar  to ‘plam i  C = { (a ,b ) : * = 1,n  j  = 1,m}  ning  elem entlari  soni  n m  
b o ‘ladi.
n  ta  elem entdan  m  (0  < m < n )tadan  tanlashda  ikkita  sxem a  m avjud: 
qaytarilm aydigan  va  qaytariladigan  tanlashlar.  B irinchi  sxem ada  olingan 
elem entlar  qayta  olinm aydi(orqaga  qaytarilm aydi),  ikkinchi  sxem ada  esa 
har bir olingan elem ent har qadam da o ‘rniga qaytariladi.
I.  Q a y ta rilm a y d ig a n   ta n la s h la r  sx em asi
S   Guruhlashlar soni:  n  ta  elem entdan  m  ( 0  < m < n )tadan  guruhlashlar 
soni quyidagi form ula orqali hisoblanadi:
c :   = — n —  
(1.6.2)
m!(n -  m)!
c :   sonlar N yuton binom i form ulasining koeffisientlaridir:
(p  + q )n  = p n  + C1 p n-1q + С 2p n-2q 2  +... + q n .
S   O ‘rinlashtirishlar  soni:  n  ta   elem entdan  m  (0  < m < n )  tadan 
o ‘rinlashtirishlar soni quyidagi form ula orqali hisoblanadi:
a : =
• 
(1 .6 3 )
S   O ‘rin  almashtirishlar  soni:  n  ta  elem entdan  n  tadan  o ‘rinlashtirish 
o ‘rin alm ashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi:
Pn  =  n!. 
(1.6.4)
17

O ‘rin  alm ashtirish  o ‘rinlashtirishning  xususiy  holidir,  chunki  agar 
(1.6.3.)da  n=m b o ‘lsa 
a
:   = — n!—  = — = n!  b o ‘ladi.
v 
7 
n 
(n -  m)!  0!
II.  Q a y ta rila d ig a n  ta n la s h la r  sxem asi
S   Qaytariladigan  guruhlashlar  soni:  n  ta  elem entdan  m  ( 0  < m  < n ) 
tadan qaytariladigan guruhlashlar soni quyidagi form ula orqali hisoblanadi:
—
 
m
C
rr  = 
C
n m+ m
-
1 
(1.6.5)
S   Qaytariladigan 
o ‘rinlashtirishlar 
soni: 
n 
ta 
elem entdan 
m
( 0  < m  < n )  tadan  qaytariladigan  o ‘rinlashtirishlari  soni  quyidagi  form ula 
orqali hisoblanadi:
““ m
A n  = n m . 
(1.6.6)
S   Qaytariladigan  o ‘rin  almashtirishlar  soni:  k   hil  n  ta  elem entdan 
iborat  to ‘plam da  1-elem ent  n 1  m arta,  2-elem ent  n2  m a rta ,...,  k-  elem ent  nk 
m arta  qaytarilsin  va  n   + n2  +... + nk  = n  b o ‘lsin,  u  holda  n  ta  elem entdan 
iborat o ‘rin alm ashtirish  Pn (n1, n2,..., nk)  orqali belgilanadi  va u quyidagicha 
hisoblanadi:
n!
Pn (n1, n2,..., nk ) =  
------ . 
(1 .6.4)
П1! П2 ! ...Пк !
Endi ehtim ollik hisoblashga doir m isollar  keltiram iz.
1.5-m isol.  Telefon  nom erini  terayotganda  abonent  oxirgi  ikki 
raqam ni  eslay  olmadi.  U   bu  raqam lar  har  xil  ekanligini  eslab,  ularni 
tavakkaliga terdi.  Telefon nom eri to ‘g ‘ri terilganligi ehtim olligini toping.
O xirgi  ikki  raqam ni  a2  usul  bilan terish m um kin.  ^ = { te le fo n  nom eri 
to ‘g ‘ri terilgan}  hodisasini kiritam iz. A  hodisa faqat bitta elem entdan iborat 
b o ‘ladi(chunki kerakli telefon nom eri  bitta b o ‘ladi).  Shuning  uchun klassik
ta ’rifga k o ‘ra  P( A) =  N  (A)  = - ^  = —1— = —  -  0.011. 
ga  o  a 
N (Q) 
A2 
10 • 9 
90 
.
1.6-m isol.  100  ta   lotoreya  biletlarlaridan  bittasi  yutuqli  b o ‘lsin. 
T avakkaliga  olingan  10  lotoreya  biletlari  ichida  yutuqlisi  b o ‘lishi 
ehtim olligini toping.
18

100  ta   lotoreya  biletlaridan  10  tasini  c ^   usul  bilan  tanlash  m um kin. 
B ={10  lotoreya  biletlari  ichida  yutuqlisi  b o ‘lishi  }  hodisasi  b o ‘lsa,
N (B) = c 1 • С
999
  va  P(B) = N (B ) = 
= 0.1.
1.7-m isol.  Pochta  b o ‘lim ida  6  xildagi  otkritka  bor.  Sotilgan  4  ta 
otkritkadan:  a)  4  tasi  bir xilda;  b)  4  tasi  turli  xilda  b o ‘lishi  ehtim olliklarini 
toping.
6  xil  otkritkadan  4  tasini  C64  usul  bilan  tanlash  m um kin.  a)  A={4  ta 
bir  xildagi  otkritka  sotilgan}  hodisasi  b o ‘lsin.  A   hodisaning  elem entar 
hodisalari  soni  otkritkalar  xillari  soniga  teng,  y a ’ni  N(A)=
6
.  K lassik
„  
N (A) 
6 
6 
1
ta ’rifga  k o ‘ra  P(A) ^  
^  
= —   b o ‘ladi.  b)  B={4  ta  har  xil
(  ) 
C6
otkritka  sotilgan}  hodisasi  b o ‘lsin,  u  holda  N(B)  = c 64  ga  teng 
va
P( B)
N  (B)  _ C4  _  15  _  5
N  (Q) 
c 4 
126  42
K lassik ehtim ollik quyidagi xossalarga ega:
1.  P (0 ) = 0 ;
2.  P(Q) = 1;
3.  0 < P (A ) < 1;
4.  A gar  A • B = 0   b o ‘lsa,  u holda  P ( A + B ) = P (A) + P ( B ) ;
5.  VA, B e Q   uchun  P ( A + B) = P ( A) + P ( B) -  P ( A • B)
N  (0 )
Isboti.  1)  N  (0) = 0  b o ‘lgani uchun klassik ta ’rifga k o ‘ra  P (0 ) = 
= 0.
2) K lassik ta ’rifga k o ‘ra  P(Q) = N (Q)  = 1.
7 
°  
N  (Q)
3) Ihtiyoriy  A  hodisa uchun  0 c  A c Q   ekanligidan  0 <  P(A ) < 1  b o ‘ladi.
4) 
A gar 
A • в  = 
0
 
b o ‘lsa, 
u 
holda 
N  (A + B) = N  (A) + N  (B) 
va
P( A + B) =  N  (A + B)  =  N  (A) + N  (B)  =  N(A)  + N B )   = P( A) + P( B)
N  (Q) 
N  (Q) 
N  (Q) 
N  (Q)
5)  A +в   v a  в   hodisalarni  birgalikda  b o ‘lm agan  ikki  hodisalar  y ig ‘ndisi 
shaklida 
yozib 
olamiz:
A + B = A + B • A (1.3 -  misol),  B = B 
Q = B • (A + A) = A • B + B • A , u holda 
4-
xossaga  k o ‘ra  P (A + B) = P(A) + P (B • A)  va  p(b) = p (a • в) + 
p
(
b
  • A) . B u ikki
tenglikdan  P (A +B) = P(A) + P(B) -  P(A • B)  kelib chiqadi. 
■
19

1.7  E h tim o llik n in g  g e o m e trik  t a ’rifi
E htim olning  klassik  ta ’rifiga  k o ‘ra  Q  -  elem entar  hodisalar  fazosi 
chekli  b o ‘lgandagina  hisoblashim iz  m um kin.  A gar  Q  cheksiz  teng 
im koniyatli  elem entar  hodisalardan  tashkil  topgan  b o ‘lsa,  geom etrik
ehtim ollikdan foydalanam iz.
O ‘lchovli  biror  G  soha  berilgan 
b o ‘lib,  u  D   sohani  o ‘z  ichiga  olsin.
G sohaga 
tavakkaliga 
tashlangan 
X 
nuqtani  D   sohaga  tushishi  ehtim olligini 
hisoblash  m asalasini  k o ‘ramiz.  B u  yerda 
X   nuqtaning  G  sohaga  tushishi  m uqarrar 
v a D  sohaga tushishi tasodifiy hodisa 
b o ‘ladi.  A = {X e D} -X  nuqtaning D  sohaga
S   A  hodisaning  geom etrik  ehtim olligi  deb,  D   soha  o ‘lchovini  G  soha 
o ‘lchoviga nisbatiga aytiladi, y a ’ni
=  
mes{D} , 
mes{G} ’
bu yerda mes orqali uzunlik, yuza,  hajm  belgilangan.
1.8-m isol.  l  uzunlikdagi  sterjen  tavakkaliga  tanlangan  ikki  nuqtada 
b o ‘laklarga  b o ‘lindi.  H osil  b o ‘lgan  b o ‘laklardan  uchburchak  yasash 
m um kin b o ‘lishi ehtim olligini toping.
B irinchi 
b o ‘lak 
uzunligini 
x, 
ikkinchi 
b o ‘lak 
uzunligini  у  
bilan 
belgilasak,  uchinchi b o ‘lak uzunligi l-x-y 
b o ‘ladi.  B u  yerda  Q = {(x,>’) :
0 'y a ’ni 
o < x  + >’< /sterjen n in g   b o ‘laklari 
uzunliklarining  barcha  b o ‘lishi  m um kin 
b o ‘lgan 
kom binatsiyasidir. 
B u 
b o la k la rd a n  
uchburchak 
yasash 
m um kin  b o lis h i  uchun  quyidagi  shartlar 
*  bajarilishi 
kerak: 
x + y > i - x - y ,
x + l -  x - y >  y,  y  + l - x - y > x   .
7-rasm.
6-rasm. 
tushishi hodisasi b o ‘lsin.
20

B ulardan  x < 1 ,  y  < 1 ,  x + y  > 1   ekanligi kelib chiqadi.
B u  tengsizliklar  7-rasm dagi  b o ‘yalgan  sohani  bildiradi.  Ehtim ollikning 
geom etrik ta ’rifiga k o ‘ra:
1
 
1
1
 
mes{A}  _ 
2  2  2  = 1  
4  ’
P( A) =
mes{G}
1
2
• / • /
1.9-m isol.  (U chrashuv haqida)
Ikki  d o ‘st  soat  9  bilan  10  orasida  uchrashishga  kelishishdi.  Birinchi 
kelgan  kishi  d o ‘stini  15  daqiqa  davom ida  kutishini,  agar  shu  vaqt 
m obaynida d o ‘sti  kelm asa u  ketishi  m um kinligini  shartlashib  olishdi.  A gar 
ular  soat  9  bilan  10  orasida  ixtiyoriy  m om entda  kelishlari  m um kin  b o ‘lsa, 
bu ikki d o ‘stning uchrashishi ehtim olini toping.
B irinchi  kishi  kelgan  m om entni  x,  ikkinchisinikini  y   b o ‘lsin:
0 < x < 60,  0 < y < 60  U   holda  ularning 
uchrashishlari 
uchun 
|x -  y  < 15
tengsizlik bajarilishi kerak.
D em ak,  Q = {(x,y):0 < x < 60,0 < y  < 60}, 
A = {(x,y): |x - y  < 15}.  x  v a y   larni  D ekart
koordinatalar 
tasvirlaym iz(8-rasm ). 
U  holda
tekisligida
1
P( A) =
( 
602 -  2 — • 45 • 45 
_
mes{A}  _ 
2 
_  '
mes{G} 
602 
16
8-rasm.
1.8  E h tim o llik n in g  a k s io m a tik  t a ’rifi
E htim ollar  nazariyasini  aksiom atik  qurishda  A.N.  K olm ogorov 
tom onidan 30-yillarning  boshlarida asos  solingan.
Q -  biror tajribaning  barcha  elem entar hodisalar to ‘plam i,  S-hodisalar 
algebrasi b o ‘lsin.
21

S   S  hodisalar  algebrasida  aniqlangan,  haqiqiy  qiym atlar  qabul  qiluvchi 
P(A)  fuksiya  ehtim ollik  deyiladi,  agar  u  uchun  quyidagi  aksiom alar  o ‘rinli 
b o ‘lsa:
A1:  ihtiyoriy  A e S  hodisaning  ehtim olligi  m anfiy  em as 
P(A) > 0 
(nom anfiylik aksiom asi);
A2: 
m uqarrar 
hodisaning 
ehtim olligi 
birga 
teng 
P(Q) = 1
(norm allashtirish aksiom asi);
A3:  ju ft-ju fti  bilan  birgalikda  b o ‘lm agan  hodisalar  y ig ‘indisining 
ehtim olligi  shu  hodisalar  ehtim ollari  y ig ‘indisiga  teng,  y a ’ni  agar 
At  • Aj  = 0 ,  i 
ф
 j   b o ‘lsa,  u holda
P(U  A,-) = I  P( A ,)
k 
k
(additivlik aksiom asi);
(Q, S , P )  uchlik  ehtim ollik  fazosi  deyiladi,  bu  yerda  Q -elem entar 
hodisalar 
fazosi, 
S-hodisalar 
algebrasi, 
P- 
A 1-A 3 
aksiom alarni
qanoatlantiruvchi  sanoqli funksiya.
1.9  E h tim o llik n in g  x o ssa la ri
K olm ogorov  aksiom alarining  tatbiqi  sifatida  quyidagi  xossalarni 
keltiram iz:
1.  M um kin b o ‘lm agan hodisaning ehtim oli nolga teng
P (0 ) = 0.
2.  Q aram a-qarshi hodisalarning ehtim olliklari y ig ‘indisi birga teng
P ( A) + P ( A) = 1.
3.  Ixtiyoriy hodisaning ehtim olligi uchun quyidagi m unosabat o ‘rinli:
0 < P ( A) < 1
4.  A gar  A с  B   b o ‘lsa,  u holda  P(A ) < P (B ) .
5.  A gar  birgalikda  b o ‘lm agan  Al,a 2,...,An  hodisalar  to ‘la  gruppani
n
tashkil  etsa, y a ’ni  U A   = Q  va  At  • 
a
  = 0 ,  i ф j   b o ‘lsa u holda
i =1
n
1  
P( A ) 
= 
1
.
i=1
22

Isboti:
1. 
A + 0  = A,  A - 0  = 0  
tengliklardan 
A3 
aksiom aga 
k o ‘ra
P(A) + P ( 0 )  = P (A) ^  P ( 0 )  = 0
2.  A + A = Q  A - A = Q  tengliklardan  P(A) + P(A) = P(Q )  ham da  A 2  v a  A3 
aksiom alardan esa  P ( A) + P ( A) = 1  tenglik kelib chiqadi.
3.  2-xossaga k o ‘ra  P(A) = 
1 - P(A)  va A1  aksiom aga asosan  0 < P ( A) < 1.
4.  A с  В   ekanligidan  В = (В -  A) + A  va  (B -  A)A = 0 .  A3  aksiom aga  k o ‘ra 
P(B) = P (В -  A) + P (A ),  am m o  P (B -  A) > 0  b o ‘lgani uchun  P(A) < P ( B ) .
5. 
A   + A  + ••• + A   =Q 
tenglik, 
A2 
va 
A3 
aksiom alarga 
k o ‘ra
P(A
1 
+ A
2  
+ ••• + A
n  
) = P(A
1
) + P(A
2
) + ••• + P(A
n  
) .  ■
1.10  E h tim o llik la r fazosi
E lem entar  hodisalar  fazosi  cheksiz  b o ‘lsin:  Q = {ю ю 2,-, юп, • }.  S  esa 
Q  ning  barcha  qism   to ‘plam laridan  tashkil  topgan  hodisalar  algebrasi 
b o ‘lsin.  H ar  bir  a>l  eQ ,  i = 1,2V„  elem entar  hodisaga 
р (ю )  sonni  m os 
q o ‘yam iz.  р (ю ) -elem entar  hodisaning  ehtim oli  deyiladi.  D em ak,  q   da 
quyidagi  shartlarni qanoatlantiruvchi  sonli  р (ю )  funksiya kiritamiz:
1.  V ^ e Q ,   Р ( ю ) > 0;
ад
2 . 
X 
Р(Ю ) = 1.
i=1
U  holda  A e Q   hodisaning ehtim olligi y ig ‘indi shaklida ifodalanadi: 
P( A) = X  Р(Ю) 
(1.10.1)
щ-eA
Ehtim ollikni bunday aniqlash K olm ogorov  aksiom alarini qanoatlantiradi:
1.  P( A) = X  Р(ю) > 0,  chunki har bir  Р ( ю ) > 0;
ty e A
 
 
n
2.  P(Q ) =  X  Р(Ю) = X  Р (Ю) = 1;
Ю
-eQ 
i=1
3.  A gar  A - В = 0   b o ‘lsa,  u holda
P( A + В) =  X  Р Ю  ) =  X  Р(ю ) +  X  Р(ю, ) = P( A) + P( B ).
Ю eA+В 
ю  eA 
ю  eB
23

B unday  aniqlangan  {Q, S , P}  uchlik  ehtim olliklar  fazosi(yoki  diskret 
ehtim olliklar fazosi) deyiladi.
A gar  Q = {ю, ю2 ,•••, 
юп
 } -  chekli  fazo  v a  tajribadagi  barcha  elem entar 
hodisalar teng  im koniyatli b o ‘lsa, y a ’ni
Р (ю1) = Р (ю2) = ••• = Р (
юп
 ) = 1 , 
(1.10.2)
n
u holda (1.10.1) form ula quyidagi k o ‘rinishga ega b o ‘ladi:
P(A) =  X  Р (ю ) = 1  + 1  + •••+1  = — . 
(1.10.3)
z
Z
a
 
n 
n 
n n  
v 
'
V
m
B u  yerda  m   A  hodisaga 
tegishli  elem entar  hodisalar  soni.  B u  esa 
ehtim ollikni  klassik  ta ’rifga  k o ‘ra  hisoblashdir.  Dem ak,  klassik  ehtim ol
(1.10.1)  form ula orqali aniqlangan ehtim ollikning xususiy holi ekan.
1.11  S h a rtli eh tim o llik
A  v a  B  hodisalar biror tajribadagi hodisalar b o ‘lsin.
S   B  hodisaning  A  hodisa ro ‘y  bergandagi shartli ehtimolligi deb,
P(A ' B)  (P(A) * 0) 
(1.11.1)
P(A) 
v 
>
nisbatga aytiladi.  B u ehtim ollikni  P(B / A)  orqali belgilaym iz.
Shartli ehtim ollik ham  K olm ogorov aksiom alarini qanoatlantiradi:
1.  P( В / A) > 0;
2  P(Q / A) = P(Q- A)  = 
= 1-
P( A) 
P( A) 
’
3.  A gar  b -C = 
0
  b o ‘lsa,  u holda
P((B + C) - A) 
P(B - A + C - A) 
P(B - A) + P(C - A)
P((B + C) / A) =
P( A) 
P( A) 
P( A)
P(B - A) + P(C - A)  = P (В / A) + P(C / A), 
P( A) 
P( A)
24

chunki  В - C = 0  ekanligidan,  (В - A) - (C - A) = В - A - A - C = В - C - A = 0 -  A = 0
1.10-m isol.  Idishda 3  ta oq va 7 ta qora shar bor.  T avakkaliga ketm a-ket 
bittadan  2  ta  shar  olinadi.  B irinchi  shar  oq  rangda b o ‘lsa  ikkinchi  sharning 
qora rangda b o ‘lishi ehtim olligini toping.
B u m isolni  ikki usul bilan yechish mum kin:
1)  A ={birinchi  shar  oq  rangda},  B = {ikkinchi  shar  qora  rangda}.  A  hodisa 
r o ‘y   berganidan  so ‘ng  idishda  2  ta  oq  v a  7  ta  qora  shar  qoladi.  Shuning
7
uchun  P ( В / A) = - .
3
2)  (1.11.1) 
form uladan 
foydalanib, 
hisoblaym iz: 
P( A)  = — ,
3 
7  
7
P (
A B )   =   —   - -   =   —
1 0   9  
3 0
P (A - B) 
7/30 
7
Shartli ehtim ollik form ulasiga k o ‘ra:  P (B / A) = 
= 
3 / 1 0   =  9  .
Shartli  ehtim ollik  form ulasidan  hodisalar  k o ‘paytm asi  ehtim olligi 
uchun ushbu form ula kelib chiqadi:
P( A - B) = P( A) - P(B / A) = P(B) - P (A / B) 
(1.11.2)
(1.11.2)  tenglik  k o ‘paytirish  qoidasi(teorem asi)  deyiladi.  B u  qoidani  n  ta 
hodisa uchun um um lashtiram iz:
P(A  - A
2 - ••• - An) = P( Aj) - P(A2/ Ax) - P( A3 / A  A ) -  - P(An / Ax A±... An-!). 
(1.11.3)
S   A gar  P(A / B) = P(A)  tenglik  o ‘rinli  b o ‘lsa,  u  holda  A  hodisa 
B hodisaga b o g ‘liq em as  deyiladi va  A ±  В  orqali  belgilanadi.
A gar  A ± В  b o ‘lsa,  u  holda 
(1.11.2)  form ulani  quyidagicha  yozish 
m umkin:
P( A - B) = P(B) - P(A / B) = P (B) - P( A) .
S  
a
  va  B  hodisalar o ‘zaro  b o g ‘liq em as  deyiladi,  agar
P( A - B) = P( A) - P(B)
m unosabat o ‘rinli b o ‘lsa.
L em m a.  A gar  A ± В  b o ‘lsa,  u holda  A
1
В ,  A
1
В  v a  A
1
В  b o ‘ladi.
25

Isboti:  A
1
В  b o ‘lsin.  U   holda  P (A - B) = P (A) - P (B)  m unosabat  o ‘rinli 
b o ‘ladi.  P(B ) + P ( B) = 1  tenglikdan foydalanib,  quyidagiga ega b o ‘lamiz:
P (A - B) = P(A - (Q -  B)) = P(A - Q -  A - B) = P(A -  A - B) = P(A) -  P(A - B) =
= P( A) -  P( A) - P( B) = P( A) - (1 -  P( B)) = P( A) - P( B)•
Dem ak,  P (A - B) = P(A) - P(B) ^  a  
1
В .  Q olganlari  ham  xuddi  shunday 
isbotlanadi.  ■
1.12  T o ‘la eh tim o llik  v a  B ayes  fo rm u la la ri
A ,A ,•••, A   juft-jufti  bilan  birgalikda  b o ‘lm agan  hodisalar  to ‘la
n
gruppani  tashkil  etsin,  y a ’ni 
у  л   =Q  v a  At  - 
a
}.  = 0 ,  i *  j   .  U   holda
i=1
A   + A  + ••• + A   =Q 
ekanligini 
hisobga 
olib, 
В 
ni
В = в -Q = В - (А1 + A2 + ••• + An) = в  - л  + в  - А  + •••+в  - A   k o ‘rinishda  yozam iz. 
At  - Aj  = 0 ,  i * j   ekanligidan  (в - At) - (в - Aj ) = 0 ,  i * j   ekani kelib chiqadi.  в  
hodisaning ehtim olligini hisoblaym iz:
P ( B )   =   P
( В  - A   +  В  - A   +  •••  +  В  - A ) =
= P(B - A ) + P (B - A ) + ••• + P (B - An). 
(1.12.1)
K o ‘paytirish  qoidasiga  k o ‘ra  P(B - A ) = P (A ) - P (B /A ), i = 1 n  b o ‘ladi.  Bu 
tenglikni (1.12.1) ga q o ‘llasak,
P (B ) = P ( Ax)P(В / 4 )  + P(A
2 )P (В / A2 ) + ••• + P ( a . )P ( В / Аи).
n
S   A gar  В с  X  A
, 
b o ‘lsa,  u holda
i =1
n
P (B ) = X  P ( A, )P(B / A, ) 
(1.12.2)
i=1
tenglik  o ‘rinli b o ‘ladi.  B u tenglik t o ‘la ehtim ollikform ulasi deyiladi.
1.11-m asala.  D etallar  partiyasi  uch  ishchi  tom onidan  tayyorlanadi. 
B irinchi  ishchi  barcha  detallarning  25% ini,  ikkinchi  ishchi  35% ini, 
uchinchsi  esa  40% ini  tayyorlaydi.  B u  uchchala  ishchining  tayyorlagan 
detallarining  sifatsiz  b o ‘lish  ehtim olliklari  m os  ravishda  0.05,0.04  va  0.02
26

ga  teng  b o ‘lsa,  tekshirish  uchun  partiyadan  olingan  detalning  sifatsiz 
b o ‘lish ehtim olligini toping.
A-={detal  i-ishchi  tom onidan  tayyorlangan}  i = 
1,3 ,  B={tekshirish 
uchun 
olingan  detal 
sifatsiz} 
hodisalarni  kiritam iz 
v a  quyidagi
ehtim olliklarni hisoblaym iz:
P( A  ) = 
= 025,  P( A  ) = 
= 035,  P( A  ) = 
= 0 4 ,
100% 
100% 
100%
P (B / A1) = 0^05,  P (B / A2) = 0^04,  P (B / A3) = 0Ш  . 
T o ‘la 
ehtim ollik 
form ulasiga asosan  P(B) = 0^25 - 0^05 + 0 3 5  - 0^04 + 0^4 - 0^02 = 0Ю345.
A
t  v a  B  hodisalar k o ‘paytm asi uchun
P ( A t,  - B ) = P (B ) - P ( A , / B) 
(1.12.3)
P ( A,  - B)  = P (
a
, ) - P (В  / 
a
, ) 
(1.12.4)
tengliklar  o ‘rinli.  (1.12.3)  va  (1.12.4)  tengliklardan  quyidagilarni  hosil 
qilamiz:
P (B ) - P ( A  / B) = P (  A ) - P ( В / A ) ,
P (A, / B ) =  P(Ai) P ( B / A i) . 
(1.12.5)
n
B u  yerda  P (B ) =  X P (A , )P(B  / A, ) .  (1.12.5)  tenglik  Bayes  fo rm u la si
i=1
deyiladi.  Bayes  form ulasi  yana  gipotezalar  teoremasi  deb  ham   ataladi. 
A gar 
A
j ,
a 2
v
„ ,  
A
n  hodisalarni  gipotezalar deb  olsak,  u holda 
p ( a ,
) 
ehtim ollik 
A t
 
gipotezaning  aprior(“a  priori”  lotincha  tajribagacha), 
p (a ,
 
/ в)  shartli 
ehtim ollik  esa  aposterior(“a  posteriori”  tajribadan  keyingi)  ehtim olligi 
deyiladi.
1.12-m asala.  1.11-m isolda  sifatsiz  detal  ikkinchi  ishchi  tom onidan 
tayyorlangan b o ‘lishi ehtim olligini toping.  Bayes  form ulasiga k o ‘ra: