Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

0 3 5  - 0^04 
28  A/1
P( A  / B) = -------------------------------------------= —  « 0^4
^  
0^25 - 0^05 + 03 5 - 0^04 + 0^4 - 0Ю2 
69 
.
27

1.13  B og‘liqsiz ta j r i b a l a r  k e tm a -k e tlig i.  B e rn u lli  fo rm u la si
A gar bir necha tajribalar  o ‘tkazilayotganida,  har  bir tajribada biror A 
hodisaning  ro ‘y   berish  ehtim olligi  boshqa  tajriba  natijalariga  b o g ‘liq 
b o ‘lmasa,  bunday tajribalar b o g ‘liqsiz tajribalar deyiladi.
n  ta  b o g ‘liqsiz  tagribalar  o ‘tkazilayotgan  b o ‘lsin.  H ar  bir  tajribada A 
hodisaning  ro ‘y  berish  ehtim olligi  P(A) = p   va  ro ‘y  berm asligi  ehtim olligi 
P(A) = 1 - p = q  b o ‘lsin.
M asalan,  1)  nishonga qarata  o ‘q  uzish tajribasini  k o ‘raylik.  B u yerda 
A ={o‘q  nishonga  tegdi}-m uvaffaqqiyat  v a  A = { o ‘q  nishonga  tegm adi}- 
m uvaffaqqiyatsizlik;  2)  n  ta  m ahsulotni  sifatsizlikka  tekshirilayotganda 
A ={m ahsulot 
sifatli}-m uvaffaqqiyat 
va 
A ={m ahsulot 
sifatsiz}- 
m uvaffaqqiyatsizlik b o ‘ladi.
Bu  kabi  tajribalarda  elem entar  hodisalar  fazosi  Q  faqat  ikki 
elem entdan  iborat  b o ‘ladi:  Q = {щ ,щ } = {A,A},  bu  erda  щ -A  hodisa  ro ‘y 
berm asligini,  щ -A  hodisa  ro ‘y   berishini  bildiradi.  B u  hodisalarning 
ehtim olliklari m os rav ish d ap  v a q  (p+q=
1
)   lar orqali belgilanadi.
A gar  n  ta  tajriba  o ‘tkazilayotgan  b o ‘lsa,  u  holda  elem entar  hodisalar 
fazosining  elem entar  hodisalari  soni  2n  ga  teng  b o ‘ladi.  M asalan,  n=3  da 
Q = {щ ,щ  ,•••,
<^7} = {AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA}, 
y a ’ni 
Q
о
to ‘plam   2 
= 8
  ta  elem entar  hodisadan  iborat.  H ar  bir  hodisaning 
ehtim olligini k o ‘paytirish teorem asiga k o ‘ra hisoblash mumkin:
р ( щ ) = P ( AAA) = P ( A) P ( A) P ( A) = q 3, 
р ( щ ) = P ( AAA) = P ( A) P ( A) P ( A) = p q 2,
р ( щ ) = P ( AAA) = P ( A) P ( A) P ( A) = p  \
n  ta  b o g ‘liqsiz  tajribada  A  hodisa  m  m arta  ro ‘y   berish  ehtim olligini 
hisoblaylik:
p  (m) = P(A -A -•••■A- A -A -•••A) + P( AA -A -•••■A- A -A -•••■A)  + •••+
V 
V 
V 
V
mta 
( n -m ) ta  
mta 
(n -(m -1 ))ta
P(A -A-...-A- A ■
 A-. . ■ A - A ) + P(A ■
 A ,  ■
 ■. A-A -A ■...■A )
V 
V 
V 
V
(n -(m -1 ))ta  
mta 
(n -m ) ta  
mta
28

H ar  bir  q o ‘shiluvchi  k o ‘paytirish  teorem asiga  k o ‘ra  p mqn~m  ga  teng. 
D em ak,
p (m) = p mq n-m  + p mq n-m  +... + p mq n-m  = C ”p mq n-m,  m = 0,1,...n .
V
. 
J
v
Cnm
 /a  qo'shiluvchi
S   A gar  и  ta  b o ‘g ‘liqsiz  tajribaning  har  birida A  hodisaning  ro ‘y  berish 
ehtim olligi p   ga,  ro ‘y  berm asligi  q  ga teng  b o ‘lsa,  u  holda A  hodisaning  m 
m arta ro ‘y berish ehtim olligi quyidagi  ifodaga teng b o ‘ladi:
Pn(m) = cnmpmq n-m,  m = 0,1,...n . 
(1.13.1)
(1.13.1)  form ula  B ernulli  form ulasi  deyiladi.  p  (m)  ehtim olliklar  uchun
n
X  
p
. (m) = 1  tenglik o ‘rinlidir.  H aqiqatan ham,
m =0
(q + p x ) n  = q n + C\ q n-1 p x  + C 2
n q n-2 p 2 x 2 +... + p nx n
N yuton binom i form ulasida  x = 1  deb olsak,
(q + p ) n  = q n  + C1 q n-1 p  + C 2q n-2p 2 +... + p n, y a ’ni
n
1 = P
n  
(0) + P
n  
(1) +... + P
n  
(n) = X  P
n  
(m)  b o ‘ ladi.
m = 0
(1.13.1)  ehtim olliklar xossalari:
n
1.  X  P
n 
(m) = 1 .
m =0
m
2
2.  A gar  m1  < m < m2  b o ‘lsa,  Pn
(m 1  ^ m ^ m2) =  X Pn(m ).
m=m1
3.  n  ta  b o g ‘liqsiz  tajribada  A  hodisaning  kam ida  1  m arta  ro ‘y   berishi 
ehtim olligi  P = 1 -  qn  b o ‘ladi.
C hunki, 
p
. (0) + P,(1) + . ...+p, (и) = 1 ^  P = 1 -  
p
. (0) = 1 -  q
n
.
P
4.  A gar  p(m )  ehtim ollikning  eng  katta  qiym ati  p  (m0)  b o ‘lsa,  u  holda  m
0 
quyidagicha  aniqlanadi: 
np -  q < m
0
  < (n +1)p , 
m  -eng  ehtim olli  son 
deyiladi va
a) agar np-q kasr son b o ‘lsa,  u holda  mQyagonadir;
b)  agar np-q butun  son b o ‘lsa,  u holda  m
0
  ikkita b o ‘ladi.
29

1.13-m isol.  Ikki  teng  kuchli  shaxm atchi  shaxm at  o ‘ynashm oqda. 
Q aysi hodisaning ehtim olligi katta:  4 ta partiyadan 2 tasida yutishm i yoki  6
ta  partiyadan  3  tasida  yutish.  B irinchi  holda:  n=4,  m=2,  p =  1 ,  B ernulli
form ulasiga k o ‘ra  P4(2) = C
v 2 J
1 - 1
2
,
6 •
A  
22  22
6
16
Ikkinchi 
holda  n=
6
, 
m=3,  p =  1  
va  B ernulli 
form ulasiga  k o ‘ra
Рб(3) = C
v 2 J
1 - 1
v 
2,
23  23
17.  17 > 17 ^  P4(2) > P6(3 ).  D em ak,  4 
16  16 
16
ta partiyadan 2 tasida yutish ehtim olligi katta ekan.
1.14  L im it te o r e m a la r
A gar  n  v a  m  lar  katta  sonlar  b o ‘lsa,  u  holda  B ernulli  form ulasidan 
foydalanib,  Pn(m)  ehtim ollikni  hisoblash  qiyinchilik  tu g ‘diradi.  X uddi 
shunday,  p (q )  ehtim ollik  ju d a   kichik  qiym atlar  qabul  qilsa  ham  
qiyinchiliklarga  duch  kelam iz.  Shu  sababli,  n 
da  p  (m)  uchun 
asim ptotik(taqribiy) form ulalar topish m uam m osini tu g ‘diradi.
P u a sso n   fo rm u la si
S   A gar  n ^  w  da  A  hodisaning  r o ‘y  berish  ehtim olligi  p   har  bir 
tajribada cheksiz kam aysa(ya’ni  np ^  a > 0 ),  u holda
lim 
p, (m)
 =
m!
m = 0,1,2,...  .
(1.14.1)
(1.14.1)  form ula Puassonning asim ptotik form ulasi deyiladi.
p = a   belgilash kiritib,  B ernulli form ulasidan
n
Pn (m) = C m
np mqn-m
n!
m
a
m!(n -  m)!
v
1 -  a
n
, •  ( n -  1)v..• ( , - (m -1))  am
 
m! 
nm v
n
J
- m
1 -  a л
J
v
n J
1
-  a
a  •e
n - m
30

am  n  n -1   n -  2 
n -  (m -1)
m!  n 
n
f  
\ n
i -  a
n
n
v
f  
\ - m
i -  a л
J
v
n J
a m
L 
1 ^ L   2  ^
m -1
L  a Л
n
L  a ^
- m
—  -1- 1
—
1
—
1
1 —
1 —
m!
Jn
Jn
V 
n  J
Jn
V 
n)
(1.14.2)
lim
n
——^
n
1 
-  
a
л
n 
J
e  a  ekanligini  e ’tiborga  olib,  (1.14.2)  tenglikdan  lim itga
o ‘tamiz:
a
lim  Pn (m) = —  e  a .
n—да 
m!
D em ak, yetarlicha katta n larda (kichik p  da)
a m  • e  a
Pn (m) « ---------- ,  a = np,  m  = 0,1,..., n
m!
(1.14.3)
(1.14.3)  form ula Puasson form ulasi  deyiladi.  O datda Puasson form ulasidan 
n > 50,  np < 10  b o ‘lgan hollarda foydalaniladi.
1.14-m isol.  Telefon  stansiyasi  2000  ta  abonentga  xizm at  k o ‘rsatadi. 
A gar  har  bir  abonent  uchun  unig  bir  soatning  ichida  q o ‘n g ‘iroq  qilishi 
ehtim olligi  0.003  b o ‘lsa,  bir  soatning  ichida  5  ta  abonent  q o ‘ngiroq  qilishi 
ehtim olligini toping.
n=2000,  p= 0.0 0 3 ,  m=5,  ^= np=2000-0.003=6< 10.  D em ak,  Puasson
65  • e“6
form ulasiga k o ‘ra  P
2ooo(5) = — “ —  ~ 0,13  .
M u a v r-L a p la s n in g  lo k al te o re m a si
A gar  p   ( p  
ф
 0, p  
ф
 1 )ehtim ollik  nol  atrofidagi  son  b o ‘lm asa  v a  n 
etarlicha  katta  b o ‘lsa,  u  holda  Pn (m)  ehtim ollikni  hisoblash  uchun  M uavr- 
Laplas teorem asidan foydalanish mum kin.
T e o re m a (M u a v r-L a p la s )  A gar  n  ta  b o g ‘liqsiz  tajribada  A 
hodisaning  ro ‘y  berish  ehtim olligi  0 < p  < 1  b o ‘lsa,  u  holda yetarlicha katta 
n larda
1
1
 
—  
_
Pn(m) 
• - ^  •e 2 ,  x = m=np 
(1.14.4)
yjnpq
sjnpq  у[2ж
31

-taqribiy  form ula  o ‘rinli.  B u  yerda  P (x) = —j =  •e  2 
funksiya  Gauss
V2^
funksiyasi deyiladi(9-rasm ).
9-rasm.
p(x)  funksiya  uchun  x  argum ent  qiym atlariga  m os  qiym atlari  jadvali 
tuzilgan(l-ilova).  Jadvaldan  foydalanayotganda  quyidagilarni  e ’tiborga 
olish kerak:
1)  p( x)  funksiya ju f t funksiya, y a ’ni  p ( - x )  = p ( x ) .
2)  agar  x > 4  b o ‘lsa,  p ( x) = 0  deb olish mum kin.
1.15-m isol.  B itta  o ‘q  otilganda  o ‘qning  nishonga  tegish  ehtim olligi
0.7  ga  teng.  200  ta  o ‘q  otilganda  nishonga  160  ta   o ‘q  tegishi  ehtim olligini 
toping.
B u  yerda  n=200,  p = 0 .7 ,  q=1-p=0.3,  m=160.  (1.14.4)  ga  k o ‘ra
i 
 
i------------------ 
i—  
160  -  200  • 0.7 
20
Jnpq = J 200• 0.7 • 0.3 = 442 « 6.48, 
x = ------- ==------ = ------- * 3.09 . 
A gar
^  ™ 
’ 
V42 
6.48 
&
p(3.09) * 0.0034 
ekanligini 
hisobga 
olsak, 
u 
holda
P200(160) * —
 • 0.0034 * 0.0005 
200 
6.48 
.
M u a v r-L a p la s n in g  in te g ra l te o re m a si
A gar n yetarlicha katta va A  hodisa n ta tajribada kam ida 
v a k o ‘pi 
bilan  m 2  m arta ro ‘y  berish  ehtim olligi  Pn(m1 < m < m2) ni  topish talab  etilsa, 
u holda M uavr-L aplasning integral teorem asidan foydalanish m um kin.
32

T e o re m a (M u a v r-L a p la s ) 
A gar 
A  
hodisaning 
ro ‘y 
berish 
ehtim olligi( 0 < p  < 1)  o ‘zgarm as b o ‘lsa,  u holda
■J^ 
x2
Pn(m1  < m < m2) 
f ^
d x , 
(1.14.5)
л!2ж 
r.
taqribiy form ula o ‘rinli,  bu y erda  xt  = m>_n p ,  i = 
1,2 .
■\jnpq
(1.14.5)  form uladan  foydalanilganda  hisoblashlarni  soddalashtirish  uchun 
m axsus  funksiya kiritiladi:
1
 
x
Ф °
( x )  
=  
7 2 T f
e
d t
(1.14.6)
0
(1.14.6)-Laplas  funksiyasi deyiladi.
ФоСО
10-rasm.
Ф 0 (x)  funksiya toq funksiya:
1 
- 
x 
1
х
/
Ф 0 ( -
x
) =  .—  
f e
-t 7
2 dt 
= [
t 
= -  
z 
] = 
— ~^=
 
f e 
-
72 dz 
= - Ф 0 (
x
) .
x 2 n  
0 
л/ 
2
^  
0
A gar  x  > 5  b o ‘lsa,  u holda  Ф 0(x) = 0.5  deb hisoblash mum kin;
Ф 0( x) funksiya grafigi  10-rasm da keltirilgan.
(1.14.5) 
dagi tenglikning o ‘ng qism ini  Ф 0(x)  funksiya orqali 
ifodalaym iz:
33

^  x2
Pn (m   < m < m2) =  ,—   f e  x2 dx =
V2^   xj
-< 
x2 
1 
0 
-|  x2
= 
.—  
f e 
^ d t
 = 
,
—   f e 
x2
dx
 +  ,—   f e 
x2
dx
 = Ф 0(x 2) -  Ф 0(x
j
).  (1.14.7) 
-\2ж  x 
42ж x 
42ж  0
1
x
Г  -t2
/  
j
Ф
0(x) = 
I e  2 dt -Laplasning funksiyasi bilan bir qatorda G auss
v 2^   0
funksiyasi deb nom lanuvchi funksidan ham  foydalaniladi:
1 
x 
2/
Ф(x) = 
je " '2/2d t . 
(1.14.8)
B u  funksiya  uchun  Ф ( - x) + Ф (x) = 1  tenglik  o ‘rinli  v a  u  Ф 0(x)  funksiya 
bilan
Ф( x) = 0.5 + Ф 
0 ( x) 
(1.14.9)
form ula orqali b o g ‘langan.
1.16-m isol.  Sex  ishlab  chiqargan  m ahsulotining  o ‘rtacha  96%   i 
sifatli.  B azada  m ahsulotni  qabul  qilib  oluvchi  sexning  200  ta   m ahsulotini 
tavakkaliga  tekshiradi.  A gar  tekshirilgan  m ahsulotlardan  sifatsizlari  soni 
10  tadan  k o ‘p  b o ‘lsa  butun  m ahsulotlar  partiyasi  sifatsiz  deb,  sexga 
qaytariladi.  M ahsulotlar partiyasining qabul  qilinishi ehtim olligini toping. 
B u y erda n=200, p= 0.04(m ahsulotning  sifatsiz b o ‘lish ehtim olligi),  q=0.96, 
mj=
0
,  m2=10  v a  m ahsulotlar  partiyasining  qabul  qilinishi  ehtim olligi 
P200 (0 <  m < 10)  ni (1.14.7) form ula orqali hisoblaym iz:
0 -  2 00  • 0 .0 4  
10  -  200  • 0 .04
x,  =  
*   - 2 . 8 9 ,   x 7  =  
*   0 .72
л/200  • 0 .0 4   • 0 .9 6  
л/200  • 0 .0 4   • 0 .96
P200 (0 < m  <  10) = Ф 0(0.72) -  Ф ( -2 .8 9 ) =  0.26424  + 0.49807  = 0.7623  . 
A gar 
Ф( x) 
funksiyadan 
foydalansak,
P2m(0 < m  < 10)  = Ф (0.72) -  Ф (-2 .8 9 ) =
= 0.7642 -  (1 -  Ф(2.89)) = 0.7642 -  (1 -  0.998074) = 0.7623.
Laplas  funksiyasi  yordam ida  n  ta  b o g ‘liqsiz  tajribada  nisbiy 
chastotaning ehtim ollikdan chetlashishi ehtim olligini hisoblash m um kin.
S   B iror  s >  0  son uchun
34

P
n
n
p
< 
£
= 2 Ф
Г
£
n
p q
(1.14.10)
tenglik  o ‘rinli.
H aqiqatan  ham ,  buni  isbotlash  uchun
nA
—  -  P 
n
< £  tengsizlik  ehtim olligini
hisoblash  kerak.  B uning  uchun  bu  tengsizlikni  unga  teng  kuchli
n
- £ <  —  - p <£  yoki  - £ <
n^ -  np
<
n
n
£  tengsizliklar bilan  alm ashtiram iz.  Bu
tengsizliklarni m usbat
—   songa k o ‘paytiram iz:
pq
n 
n
<
A
 
n p
< £
.
p q  
j n p q  
\
n
pq
nA -  np
A gar  m = 
I 
 
belgilashni kiritsak,  u holda (1.14.5) form ulaga asosan:
npq
•  n 
n
P
n 
( - £   —   < m <
£
J —  
p q  
\ p q
i 
ypq 
v pq 
,
) »  .—  
[ 
dt  =  .—   [ 
dt = 2Ф
V 2^ 
^  
4 2 л   i
л/2
-л
n
£
v  V p q  у
1.17-m isol.  D etalning  nostandart  b o ‘lishi  ehtim olligi  0.6  ga  teng. 
^=1200  ta  detal  ichida  nostandart  detallar  b o ‘lishi  nisbiy  chastotasining 
^ = 0 .6   ehtim ollikdan  chetlashishi  absolut  qiym ati  £= 0.05  dan  katta 
b o ‘lm asligi  ehtim olligini toping.
(1.4.10)  ga asosan,
P
1200
—  -  0.6
n
< 0.05 у = 2ФГ 0.05.
1200
0.6 • 0.4
2Ф0 (3.54)« 0.9996.
>
- £
I  b o b g a  d o ir  m iso lla r
1. 
A,B 
v a 
С  hodisalar  uchun  quyidagilarni isbotlang: 
a)
B  = A • B  + A • B ;
b)  (A + B) • (B + C) = A • B  + C ;  c)  A + B  = A  • B .
2.  11-rasm da 
6  elem entdan  iborat  sxem a berilgan. 
A t ( i = 
1,6 )
hodisalar  m a’lum   T  vaqt  oralig‘ida  m os  elem entlarning  b eto ‘xtov  ishlashi
35

b o ‘lsa,  bu  hodisalar  orqali  m a’lum   T  vaq t  o ralig ‘ida  sxem aning  b eto ‘xtov 
ishlashini  ifodalang.
3
1
6
2
4
5
11-rasm.
3.  Ixtiyoriy  ikki  q o ‘shni  raqam lari  har xil  b o ‘lgan  nechta to ‘rt xonali 
son hosil  qilish m um kin?
4.  M usobaqaning  10  ta   ishtirokchisiga  3  ta  yutuqni  necha  xil  usul 
bilan taqsim lash m um kin.
5.  M a’lum   uchta  kitob  yonm a-yon  turadigan  qilib,  7  ta  kitobni 
tokchaga necha xil usul bilan taxlash m um kin.
6.  B irinchi  talabada 7  xil,  ikkinchisida  16  xildagi  kitoblar bor b o ‘lsa, 
kitobga kitobni necha xil usul bilan alm ashtirishlari m um kin.  2 ta kitobga 2 
ta kitobnichi?
7.  3,3,5,5,8 raqam laridan nechta besh xonali  son hosil  qilish m um kin.
8.  9  qavatli  bino  liftiga  4  kishi  kirdi.  U larning  har  biri  bir-biriga 
b o ‘gliqsiz  ravishda  ixtiyoriy  qavatda  chiqishlari  m um kin.  U lar  :  a)  turli 
qavatlarda;  b)  bitta  qavatda:  c)  5-qavatda  chiqishlari  ehtim olliklarini 
toping.
9.  Im tihon  biletlariga  kiruvchi  60  savoldan  talaba  50  tasini  biladi. 
T avakkaliga  tanlangan  3  ta   savoldan:  a)  ham m asini;  b)  ikkitasini  bilishi 
ehtim olligini toping.
10.  Idishda  5  ta  k o ‘k,  4  ta   qizil  va  3  ta  yashil  shar  bor.  Tavakkaliga 
olingan  3  ta  sharning:  a)  bir xil  rangda;  b)  har xil  rangda;  c)  2  tasi  k o ‘k va 
1  tasi yashil rangda b o ‘lishi ehtim olligini hisoblang.
11.  R   radiusli  doiraga  teng  tom onli  uchburchak  ichki  chizilgan. 
D oiraga 
tavakkaliga 
tashlangan 
nuqtaning 
uchburchakka 
tushishi 
ehtim olligini toping.
12.  [0,5]  kesm adan  tavakkaliga  bitta  nuqta  tanlanadi.  Shu  nuqtadan 
kesm aning  o ‘ng  oxirigacha  b o ‘lgan  m asofa  1.6  birlikdan  oshm asligi 
ehtim olligini toping.
36

13.  Idishda  4  ta   oq,  3  ta  k o ‘k  va  2  ta   qora  shar  bor.  Tavakkaliga, 
ketm a-ket,  bittadan  3  ta   shar  olindi.  B irinchi  shar  oq,  ikkinchisi  k o ‘k  va 
uchinchisi qora rangda b o ‘lishi ehtim olligini toping.
14.  Shoshqol  toshni  tashlash  tajribasida  A ={juft  raqam   tushishi}  va 
B={3  dan  katta  raqam   tushishi}  hodisalari  b o ‘lsin.  A  va  B   hodisalar 
b o g ‘liqsizm i?
15.  Q uyida  berilgan  bir-biriga  b o g ‘liqsiz  ravishda  ishlaydigan 
elem entlardan  iborat  sxem aning  safdan  chiqishi  ehtim olligini  toping, 
z'(z'=1,2,.. .,7)-elem entning  safdan chiqishi ehtim olligi 0.2 ga teng  .
7
5
6
12-rasm.
16.  A sbob  ikki  m ikrosxem adan  iborat.  B irinchi  m ikrosxem aning  10 
yil  ichida  ishdan  chiqishi  ehtim olligi  0.07,  ikkinchisiniki-0.10.  B itta 
m ikrosxem a  ishdan  chiqgani  m a’lum   b o ‘lsa,  bu  m ikrosxem a  birinchisi 
ekanligi ehtim olligini toping.
17.  Talaba  im tihon  40  ta  biletlarining  faqat  30  tasiga  ja v o b   bera 
oladi.  Talabaga im tihonga birinchi b o ‘lib kirishi foydalim i, yoki  ikkinchi?
18.  Z avod  ishlab  chiqargan  m ahsulotning  90%   i  sifat  talablariga 
ja v o b   beradi.  Tekshruvchi  m ahsulotni  0.96  ehtim ollik  bilan  sifatli,  0.06 
ehtim ollik  bilan  sifatsiz  deb  topadi.  Tavakkaliga  olingan  m ahsulotning 
sifatli deb topilishi ehtim olligini toping.
19.  O ilada  3  ta  farzand  bor.  A gar  o ‘g ‘il  bola  tu g ‘ilishi  ehtim olligi
0.51,  qiz  bola  tu g ‘lishi  ehtim olligi  0.49  ga  teng  b o ‘lsa,  a)  bolalarning 
ham m asi  o ‘g ‘illar,  b)  1  tasi  o ‘g ‘il  v a  2  tasi  qiz  b o ‘lishi  ehtim olliklarini 
hisoblang.
20.  Shoshqol tosh  10 m arta tashlanganda:
a) 6 raqam i bir m arta tushishi ehtim olligini;
b)  6 raqam i kam ida bir m arta tushish ehtim olligini;
37

c)  6  raqam i  tushishi  soni  ehtim olligi  m aksim al  qiym atga  erishadigan 
m iqdorni toping.
21.  “E htim ollar  nazariyasi”  fanidan  m a’ruza  darsida  84  ta   talaba 
ishtirok  etmoqda.  Shu  talabalarning  ikkitasini  tu g ‘ilgan  kuni  shu  kuni 
b o ‘lishi ehtim olligini toping.
22.  M ahsulotning  sifatsiz  b o ‘lishi  ehtim olligi  0.02  ga  teng.  200  ta 
m ahsulotning  ichida  sifatsizlari  bittadan  k o ‘p  b o ‘lm asligi  ehtim olligiti 
toping.
23.  A  hodisaning  ro ‘y   berish  ehtim olligi  0.6  ga  teng.  100  ta 
b o g ‘liqsiz  tajribada  A  hodisaning  70  m arta  ro ‘y   berishi  ehtim olligini 
toping.
24.  Shunday  m  sonini  topingki,  0.95  ehtim ollik  bilan  800  ta  yangi 
tu g ‘ilgan  chaqaloqlardan  kam ida  m  tasi  qizlar  deb  aytish  m um kin  b o ‘lsin. 
Q iz bola tu g ‘ilishi ehtim olligini 0.485  deb hisoblang.
25. 
D etalning  nostandart  b o ‘lishi 
ehtim olligi 
0.1 
ga  teng. 
Tavakkaliga  olingan  400  ta  detal  ichida  nostandart  detallar  b o ‘lishi  nisbiy 
chastotasining  p=0.1  ehtim ollikdan  chetlashishi  absolut  qiym ati  s= 0.03 
dan katta b o ‘lm asligi  ehtim olligini toping.
38

I I  b o b   T aso d ifiy  m o q d o r la r
2.1  T aso d ifiy  m iq d o r tu s h u n c h a s i
E htim ollar  nazariyasining  m uhim   tusunchalaridan  biri  tasodifiy 
m iqdor tushunchasidir.
S   Tajriba  natijasida  u  yoki  bu  qiym atni  qabul  qilishi  oldindan  m a’lum  
b o 'lm a g an  m iqdor tasodifiy m iqdor deyiladi.
T asodifiy  m iqdorlar  lotin  alifbosining  bosh  harflari  X ,Y ,Z,...(yoki  grek 
alifbosining kichik harflari  £,(ksi),  л  (eta),  ^ ( d z e t a ) ,.)  bilan qabul  qiladigan 
qiym atlari esa kichik harflar  x1,x 2,...,y 1, y 2,..., z1,z 2,...  bilan belgilanadi.
T asodifiy  m iqdorlarga  m isollar  keltiram iz:  1)  X -tavakkaliga  olingan 
m ahsulotlar  ichida  sifatsizlari  soni;  2)  Y-n  ta  o 'q   uzilganda  nishonga 
tekkanlari 
soni;  3)  Z-asbobning  b eto 'h to v   ishlash  vaqti;  4)  £/-[0,1] 
kesm adan  tavakkaliga  tanlangan  nuqtaning  koordinatalari;  5)  F-bir  kunda 
tu g 'ilad ig an  chaqaloqlar soni va h.k..
S   A gar  tasodifiy  m iqdor(t.m .)  chekli  yoki  sanoqli  qiym atlar  qabul 
qilsa,  bunday t.m.  diskret tipdagi t.m.  deyiladi.
S   A gar  t.m.  qabul  qiladigan  qiym atlari  biror  oraliqdan  iborat  b o 'lsa  
uzluksiz tipdagi t.m.  deyiladi.
D em ak,  diskret t.m.  bir-biridan  farqli  alohida  qiym atlarni,  uzluksiz  t.m. 
esa biror oraliqdagi  ihtiyoriy  qiym atlarni  qabul  qilar ekan.  Y uqoridagi X  va 
Y  t.m .lar diskret,  Z  esa uzluksiz t.m.  bo'ladi.
Endi t.m .ni q at’iy ta ’rifini keltiram iz.
S   Q   elem entar  hodisalar  fazosida  aniqlangan  X   sonli  funksiya  t.m. 
deyiladi,  agar  har  bir  о   elem entar  hodisaga X (o )  conni  m os  q o 'y sa,  yani 
X =X (o),  o e Q .
M asalan,  tajriba  tangani  2  m arta  tashlashdan  iborat  bo 'lsin .  E lem entar 
hodisalar 
fazosi 
Q = {о1, о 2, о 3, о 4},  о 1 = GG, о 2  = GR, о 3  = RG, о 4  = RR 
b o 'lad i.  X -gerb  chiqishlari  soni  b o 'lsin ,  u  holda  X   t.m.  qabul  qiladigan 
qiym atlari: X ( o
1
)=2, X ( o
2
)=1, X (o 3)=1, X ( o
4
)=0.
A gar  Q   chekli  yoki  sanoqli  b o 'lsa ,  u  holda  Q   da  aniqlangan  ixtiyoriy 
funksiya  t.m.  bo'ladi.  U m um an,  X (o )  funksiya  shunday  b o 'lish i  kerakki: 
V x e R  da  A = {о : X (о ) < x}  hodisa S  c-algebrasiga tegishli b o 'lish i kerak.
39

2.2  D isk re t ta so d ifiy  m iq d o rn in g  ta q s im o t q o n u n i
X -diskret  t.m.  b o 'lsin .  X   t.m. 
x1,x 2,...,xn,...  qiym atlarni  mos
p 1, p 2,...,p n,...  ehtim olliklar bilan qabul qilsin:
X
x
t
x
2
x
n
P
p
1
p
2
pn
jadval  diskret  t.m.  taqsim ot  qonuni jad v ali  deyiladi.  D iskret  t.m.  taqsim ot 
qonunini  p г  = P { X  = xt} , i = 1,2,...,n,...  k o 'rin ish d a yozish ham  qulay.
{X  = x1},{X = x2},...  hodisalar  birgalikda  b o 'lm ag an lig i  uchun  ular 
to 'la   gruppani  tashkil  etadi  va  ularning  ehtim olliklari  y ig 'in d isi  birga teng 
b o 'lad i, y a ’ni  2  
p
>
  = 2  P { X  = x>} = 1 .
i 
i
S   X t.m.  diskret t.m.  deyiladi,  agar  x
1
, x 2,...  chekli yoki  sanoqli to 'p la m  
b o 'lib ,  P { X  = x;} = p t  > 0 (i = 1,2,...)  v a  p 1 + p
2
 +... = 1  tenglik o 'rin li bo'lsa.
S   X   v a  Y   diskret  t.m .lar  b o g ‘liqsiz  deyiladi,  agar  A   = {X  = x }  va 
B   = {Y = y j }  hodisalar  Vi = 1,2,...,n, j  = 1,2,...,m  da  b o g 'liq siz  b o 'lsa ,  y a ’ni 
P{X = x , Y = y .} = P{X = x;} • P{Y = y .}, n , m  > да.
2.1-m isol.  10  ta  lotoreya  biletida  2  tasi  yutuqli  b o 'lsa ,  tavakkaliga 
olingan  3  ta  lotoreya  biletlari  ichida  yutuqlilari  soni  X   t.m .ning  taqsim ot 
qonunini toping.
X  t.m .ni  qabul  qilishi  m um kin b o 'lg a n   qiym atlari  x1 = 0, x2  = 1, x3  = 2 .  Bu 
qiym atlarning m os  ehtim olliklari esa
p   = P { X  = 0} = 
= —  = — ;
1 
Cf0 
120  15
P2  = P { X  = 1} = C L C .  = 5 L  = 7 ;