Эхтимолликнинг классик таърифи

Пример 4. Работает некоторый прибор. Пусть случайная величина - время безотказной работы данного
прибора. Это непрерывная случайная величина, значения которой занимают промежуток .

Вопрос. Бросается игральная кость. Выпадение " шестерки" - это:
а) дискретная случайная величина;
б) непрерывная случайная величина;
в) случайное событие;
г) неслучайная величина.
Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.
Задача
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
Задача 2: Решение: используем геометрическое определение вероятности. Общему числу исходов соответствует участок длиной  , благоприятствующему количеству исходов – участок длиной  . Таким образом:
 – вероятность того, что обрыв провода произошёл между 50-м и 55-м километрами линии.
Ответ: 

Билет 17
Геометрическое определение вероятности

Вероятность наступления некоторого события  в испытании равна отношению  , где  – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а  – мера, выражающая количество благоприятствующих событию  исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Рассмотрим событие:  – брошенная на отрезок  точка, попала в промежуток  . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка:  , а благоприятствующие событию  исходы – длиной вложенного отрезка:  По геометрическому определению вероятности:

Задача
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.
Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 1/5-й». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого: 

Рассмотрим событие:  – длина обрезка составит не менее 0,8 м.
Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина:  Благоприятствующие событию  участки разреза отмечены на рисунке красным цветом и их суммарная длина равна:  По геометрическому определению: 
Ответ: 0,4
Билет 18
Равномерный закон распределения.
НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке  , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне его:

Таким образом: 
f(x):
F(x): 
Вероятность попадания в интервал (α;β) :

Математическое ожидание:
= .
Таким образом,

Дисперсия:
Можно показать (самостоятельно), что

Среднее квадратическое отклонение:
= , тогда

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания.
Задача
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не больше полминуты? Найти числовые характеристики случайной величины Х - времени ожидания поезда.

P(0 ≤ X ≤0,5) = .


Билет 19
Показательный закон распределения (экспоненциальный).
НСВ Х имеет показательный закон распределения с параметром λ > 0, если её плотность вероятности:


f(x) 
F(x) 
Вероятность попадания в интервал (α;β) :
P( ) =  .
Математическое ожидание:
Можно показать (самостоятельно), что

Дисперсия:
Можно показать, что

Среднее квадратическое отклонение:

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, по показательному закону распределены следующие случайные величины: длительность телефонного разговора, срок безотказной работы прибора, продолжительность жизни атома радиоактивного вещества.
Задача
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина, распределённая по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения, среднее квадратическое отклонение.
=15, следовательно, λ= .
P(
Тогда, 

=  =15.
Билет 20