Эхтимолликнинг классик таърифи

Решение. Используя функцию надежности R(t)=e^–t, получим

Билет 23
Теорема Чебышева. Если X₁, X₂,…,X_n,… – последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых есть математическое ожидание M(X_i) = a_i и дисперсия  , причем дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом С, то для любого положительного числа e выполняется неравенство
. (6.5)
Данная теорема называется законом больших чисел в форме Чебышева.
Следствие 1.В неравенстве (6.5) перейдем к пределу при  , получим
.
Но так как вероятность больше единицы не бывает, то
. (6.6)
Следствие 2.Если X₁, X₂,…,X_n,… – последовательность независимых случайных величин, математические ожидания каждой из которых равны a, а дисперсии – s², то неравенство (6.5), формула (6.6) соответственно принимают вид
,
.

Данные результаты имеют большое практическое применение. Так, если надо измерить некоторую величину, истинное значение которой равно a, проводят n измерений этой величины. Результат каждого измерения – это случайная величина X_i (i = 1,2,…,n,…). Если при измерениях отсутствует систематическая погрешность, то M(X_i) = a. Можно считать, что X_i – независимая случайная величина, а ее дисперсия ограничена. Тогда справедливо следствие, и, значит, среднее арифметическое значение результатов измерений с ростом n приближается к истинному значению измеряемой величины a. Поэтому можно положить

.
Пример 6.5. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Используя терему Чебышева, оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения лампы во всей партии по абсолютной величине меньше, чем на 5 ч, если известно, что дисперсия продолжительности горения любой лампы в каждом ящике меньше 49.
Решение
Пусть X_i – продолжительность горения электролампы, взятой из i-го ящика. По условию D(X_i) < 49. Очевидно, что средняя продолжительность горения лампы в выборке  , а средняя продолжительность горения ламп во всей партии  .
Оценим сразу вероятность
.
Это есть левая часть неравенства (6.5). Так как   – независимые случайные величины, то эта вероятность оценивается правой частью неравенства (6.5), где следует положить С = 49, e = 5, n = 200.
Итак, искомая вероятность
.
Ответ:  .

Билет 24
Закон больших чисел в форме Бернули

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то вероятность того, что отклонение частости от вероятности p меньше по абсолютной величине
положительного числа e, не меньше, чем разность   ,т. е.

Задача
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
Решение: вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
По классическому определению:
– соответствующие вероятности.
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением  .
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.