Эхтимолликнинг классик таърифи

Билет 14
Геометрическое распределение
Пусть производится стрельба по заданной мишени до первого попадания, при этом вероятность pпопадания в цель в каждом выстреле одна и та же и не зависит от результатов предыдущих выстрелов. Другими словами, в рассматриваемом опыте осуществляется схема Бернулли. В качестве случайной величиныXбудем рассматривать число произведенных выстрелов. Очевидно, что возможными значениями случайной величиныXявляются натуральные числа:x₁=1,x₂=2, … тогда вероятность того, что понадобитсяkвыстрелов будет равна
. (6.11)
Полагая в этой формуле k=1,2, … получим геометрическую прогрессию с первым членомpи множителемq:
.
По этой причине распределение, определяемое формулой (6.11) называется геометрическим.
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, легко убедится, что
.
Найдем числовые характеристики геометрического распределения.
По определению математического ожидания для ДСВ имеем

.
Дисперсию вычислим по формуле
.
Для этого найдем


.
Следовательно,
.
Итак, математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения равна
.
Задача
В треугольник со сторонами  вписан круг. Точка  произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.
Напоминаю, что вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в 3 точках
Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Что тут сказать? Ищем площади:
Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона:
, где  – длины сторон треугольника, а  – полупериметр.
Сначала вычислим полупериметр треугольника:  , а затем его площадь: 
Площадь вписанного круга найдём по формуле  , где  – его радиус.
Откуда брать геометрические формулы? Нужные формулы можно найти в школьном учебнике или другом источнике информации. При этом нет никакой необходимости специально их разучивать, лично я вспомнил только  , а всё остальное в считанные минуты нашёл в Википедии. И через считанные минуты всё это благополучно забуду =)
Итак, площадь вписанного круга: 
По геометрическому определению:
– вероятность того, что точка  попадёт во вписанный круг.