Электрические цепи синусоидального тока

Компонентное уравнение и сопротивление элемента R в комплексной форме Для схем замещения электрических цепей во временной области: Для комплексных схем замещения электрических цепей: Условное обозначение резистивного элемента R Мгновенные значения тока и напряжения Комплексные ток и напряжение iR = Imsin(ωt+ i) IR(ω) = Ie uR = Umsin(ωt+ u) UR(jω)=URe Сопротивление Комплексное сопротивление Компонентное уравнение для мгновенных значений Компонентное уравнение в комплексной форме uR = RiR UR = RIR

Таблица 3.3

Компонентное уравнение и сопротивление элемента L в комплексной форме Для схем замещения электрических цепей во временной области Для комплексных схем замещения электрических цепей Условное обозначение индуктивного элемента L Мгновенные значения тока и напряжения Комплексные ток и напряжение iL = ImLsin(ωt+ i) IL(jω) = ILe^jωt uL = L = ωLImsin(ωt + i+ 90°) UL(jω) = = ULe Индуктивность Комплексное сопротивление L ZL = UL/IL = jωL = jXL Компонентное уравнение для мгновенных значений Компонентное уравнение в комплексной форме uL = L UL = jXLIL

Таблица 3.4

Компонентное уравнение и сопротивление элемента С в комплексной форме Для схем замещения электрических цепей во временной области Для комплексных схем замещения электрических цепей  Мгновенные значения тока и напряжения Комплексные ток и напряжение iС = ImС sin(ωt  i) IС(jω) = IСe uС = = = ImС sin(ωt+  i - 90°) UС(jω) = = UСe Емкость Комплексное сопротивление С ZС = Компонентное уравнение для мгновенных значений Компонентное уравнение в комплексной форме uС = UС = - jXСIС.

Комплексная мощность

Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S цепи, а аргумент - углу сдвига фаз φ между током и напряжением на её входе: S = Se^jφ. ( 3.81) Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической S = Scosφ + jSsinφ , устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи Р = Re[S] = Scosφ. (3.82) Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощность цепи Q = Im[S] = Ssinφ. (3.83) С учетом (3.82) и (3.83) выражение (3.81) можно записать следующим образом: S = P + jQ. Следовательно, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи P, а мнимая - реактивной Q, причем если имеем перед символом j знак минус, то это реактивная ёмкостная мощность - QС, а если знак плюс - реактивная индуктивная мощность + QL.

Выражение комплексной мощности через комплексы напряжения и тока на зажимах цепи

В §3.4.1 найдены выражения мощностей участка цепи с током i = Imsin(ωt + i) и напряжением на зажимах u = Umsin(ωt + u): P = UIcos(u - i) = UIcosφ [Bт]; Q = UIsin(u - i) = UIsinφ [вар]; S = UI = [B·A]; φ = u - i. (3.84) Подставив в (3.81) выражения (3.84), получим (3.85) где - комплексно-сопряжённый ток. Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплексного напряжения цепи U на комплексно-сопряженный ток : (3.86) где S = UI - полная мощность цепи.

Треугольник мощностей

Комплексному числу S можно поставить в соответствие отрезок S, проекции которого на оси действительных и мнимых чисел равны Р и Q. Прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной S, и катетами Р и Q называют треугольник мощностей (рис. 3.60). К оэффициент мощности cosφ = P/S (φ = arctgQ/P) характеризует степень приближения активной мощности нагрузки к максимальному значению, равному полной мощности S = UI источника энергии. Очевидно, что наивысшее значение (cosφ = 1) коэффициент мощности имеет при чисто активном характере нагрузки.

Понятие о резонансе в электрических цепях

Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи, содержащей индуктивные и ёмкостные элементы, при котором её входное сопротивление имеет чисто активный характер, и, следовательно, сдвиг фаз между напряжением и током на входе равен нулю (φ = 0). Разнородные реактивные сопротивления (проводимости) цепи полностью компенсируют друг друга. Реактивная мощность Q цепи при этом равна нулю. Цепи, в которых возникают резонансные явления, называют резонансными цепями или колебательными контурами. Простейший колебательный контур содержит один индуктивный L и один ёмкостный C элементы, соединённые между собой и источником синусоидального напряжения последовательно (последовательный колебательный контур) или параллельно (параллельный колебательный контур). Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс напряжений и резонанс токов.

Условие резонанса напряжений
Резонанс напряжений (РН) возникает в цепи, содержащей индуктивную катушку L и конденсатор C, включенные последовательно с источником энергии е (рис. 3.72) . В схему замещения цепи включен также элемент R, учитывающий все виды потерь в катушке, конденсаторе и внутреннее сопротивление источника энергии.

При резонансе ток i в цепи должен совпадать по фазе с напряжением . Это возможно, если входное сопротивление Z = R + j(XL - XC) будет чисто резистивным. Условием наступления РН в схеме (рис. 3.72) является равенство нулю реактивного сопротивления на входе цепи, т. е. X = XL - XC = 0 (или XL = XC) (3.105) Ток при резонансе напряжений Комплекс тока резонансной цепи (рис. 3.73) при синусоидальном напряжении на её зажимах. . Учитывая, что полное сопротивление контура при РН , ток в цепи при резонансе . (3.111) Итак, ток в цепи при РН имеет максимальное значение. Для идеального контура ( R 0) ток .

Векторные диаграммы

Векторные диаграммы напряжений цепи до режима резонанса (а), при резонансе (б) и после режима резонанса (в) представлены на рис. 3.74. Замечаем, что векторы напряжения на индуктивном UL и ёмкостном UC элементах при РН (рис. 3.74, б) больше вектора входного напряжения U. Причиной возникновения больших напряжений на реактивных элементах при РН является ЭДС самоиндукции индуктивной катушки, которая пропорциональна не току, а скорости его изменения. Напряжение на ёмкостном элементе при РН компенсирует напряжение на индуктивном элементе. Поэтому для источника энергии контур - чисто резистивная нагрузка.