Elektronika va asbobsozlik” kafedrasi «Elektronikaning fizik asoslari»

9-MAVZU: Yarimo‘tkazgichlarda elektronlarning statistikasi.
REJA:
1. Maksvell—Bolsman taqsimoti.
2. Paul prinsipi va xolatlar soni.
3. Fermi —Dirak taqsimoti.

Tayanch so‘z va iboralar: Maksvell—Bolsman taqsimoti, Paul prinsipi va xolatlar soni, Fermi —Dirak taqsimoti.
Termodinamik muvozanat mavjud bo'lganda, teshiklar va elektronlar soni faqat harorat, tarmoqli strukturasining parametrlari va elektr faol ifloslanishlar konsentratsiyasi bilan aniqlanadi. Raqamni hisoblashda, zarrachalarning bir qismi o'tkazgichda (akseptor yoki donor darajasida) bo'ladi deb taxmin qilinadi. Bundan tashqari, bir qism valentli hududdan chiqib ketishi mumkinligi va bo'shliqlar mavjudligini hisobga oladi. Yarimo'tkazgichlarda elektronlar bilan bir qatorda, ionlar ham zaryadlovchilar sifatida harakat qilishlari mumkin. Aksariyat hollarda ularning elektr o'tkazuvchanligi juda kamdir. Istisno sifatida, faqatgina ion Supero'tkazuvchilar keltirilgan bo'lishi mumkin. Yarimo’tkazgichlarda elektron uzatishning uchta asosiy mexanizmi mavjud:

1. 
   Asosiy hudud zonasi. Bu holda, elektron energiya o'zgarishi sababli ruxsat etilgan hudud doirasida harakatga keladi.
   
2. 
   Lokalizatsiya qilingan davlatlar ustidan o'tishni o'tkazish.
   
3. 
   Polaronik.
   

Qattiq jismlarning elektr va issiklik utkazuv-chanligi, termoelektrik, fotoelektrik xossalari va ularning kontaktidagi boshqa xodisalarni o‘rganish uchun, albatta, elektronlarning energiyalar bo‘yicha taqsimot funksiyasini bilish kerak bo‘ladi. Agar elek­tronlarning taqsimot funksiyasi ma’lum bo‘lmasa, kristallardagi zaryad tashuvchilarning konsentratsiyasiga yoki uning o‘zgarishiga bog‘lik bo‘lgan xodisalarni o‘rganish, ularning kelib chiqish sabablarini bilish va tushuntirib berish mumkin bo‘lmaydi.
Maksvell — Bolsman taqsimoti
Metallarda elektr utkazuvchanlikning boshqa jismlardagiga nisbatan juda katta ekanligi, elektr toki o‘tayotganda xech qanday tarkibiy o‘zgarishlarning (masalan, elektrolitlardagidek) yuz bermasligi ularda elektr tokida ishtirok etuvchi zaryad tashuvchilar asosan erkin elektronlardir, degan gipotezani maydonga keltirdi. Bu gipoteza qator tajribalarda (masalan, Tolmen tajribasida) isbotlandi. Xozirgi kunda me­tallarda elektr tokida ishtirok etuvchi zaryad tashuv­chilar elektronlar (ba’zi metallarda teshiklar xam bo‘la oladi) ekanligiga xech qanday shubxa yo‘qdir. Yarim o‘tkazgichlarda esa zaryad tashuvchilar bo‘lib elektronlar va teshiklar xizmat qiladi. Teshiklar xam elektronlar kabi massaga, zaryadga va boshqa o‘ziga xos parametrlarga ega bo‘lib, qattiq jismlarda zarra kabi xarakatda bo‘ladi bu nuqdai nazardan ular elektronga teng xuquqlidir.
Yuqorida aytilganlarga asoslanib, qattiq jismlardagi elektronlar xuddi gazlardagi molekulalar kabi erkin va tartibsiz issiqlik xarakatda bo‘lib, ular Maksvellning tezliklar bo‘yicha taqsimot funksiyasiga bo‘ysunadi, desak bo‘ladi. U xolda tezliklar fazosida bir dona elektronning tezliklar intervalida bo‘lish extimoli (4. 1) bo‘ladi. Birlik xajmdagi ko‘rsatilgan intervaldagi tezliklarga ega bo‘lgan elektronlar sonini topish uchun (4. 1) ni shu xajmdagi elektronlar soni p ga ko‘paytiramiz: (4.2)
Bundagi taqsimot funksiyasi bo‘lib, tez-likningk vadratiga bog‘liqdir. Bu elektronlar uchun barcha yo‘nalishlarning teng xuquqliligi natijasidir. Ma’lum xisoblashlar amalga oshirilgach, taqsimot funksiyasi uchun quyidagi ifodani olamiz:

(4. 3)
b unda elektron maesasi. Bolsman doimiysi, absolyut temperatura. (4. 2) ga asosan:

T ezlik va kinetik energiya orasidagi munosabatdan foydalanib tenglikni olamiz. Bu ifoda elektronlarning energiyalar buyicha klassik Maksvell taqsimotini ko‘rsatadi. Bu taksimotning grafigi 23- rasmda kursatilgan. Agar (4. 5) ni ' ko‘rinishda yozsak:

(4.6)
B undagi A — o‘zgarmas son. Bu funksiya Maksvell — Bolsman taqsimot funksiyasi deb yuritiladi. Buning grafigi 24- rasmda berilgan.


energiya o‘zgarishi bilan sekin o‘zgaradigan funksiya.
Kvant mexanikasi shuni ko‘rsatadiki, metallardagi elektr tokida ishtirok etuvchi elektronlar Maksvell — Bolsman taqsimot funksiyasiga buysunmas ekan. Kup sonli tajribalardan yarim utkazgichlardagi zaryad ta-shuvchilar — elektronlar va teshiklarning konsent-ratsiyasi dan ortib ketmasa, ularga Maksvell—Bolsman taksimotini kullash mumkin ekanligi ma’lum bo’ldi. Biz keyingi paragraflardan birida metallarda elektronlarning taksimot funksiyasini kurib chikamiz. Bu Fermi — Dirak tassimoti bo‘lib. Maksvell — Bolsman taksimoti uning xususiy xolidir.