Elektronika va asbobsozlik” kafedrasi «Elektronikaning fizik asoslari»

Fermi — Dirak taqsimoti
Xar bir energetik satzda g_t energetik xolat bo‘lsin. Bulardan tasi elektronlar bilan band qilingan bo‘lsa, u xolda energiyasi bo‘lgan xolatda elektronning bo‘lish extimolini beradi. Agar sistemadagi energetik satxlar soni t ga teng bo‘lsa, sistemaning to‘lik energiyasi quyidagiga teng bo‘ladi:
(4. 13)
Sistemadagi to‘liq elektronlar soni esa
(4. 14)
I- energetik satada n_i ta elektronning bo‘lish extimolini bilan belgilaylik: o‘z navbatida o‘ringa ta elektronni nechta usul bilan joylashtirishga bog‘lik bo‘ladi, ya’ni

xamma energetik satxlar bo‘yicha elektronlarnnng taqsimlanish extimoli

ga teng bo‘ladi.
Sistemaning erkin energiyasi

muvozanat xolatda minimum bo‘lish shartidan foydalanaylik. Ma’lumki, Bolsman formulasi
yoki

bunda Bolsman doimiysi. (4. 13) va (4. 17) ni
(4. 16) ga qo’ysak:

Sterling formulasi

dan foydalansak,

Bu ifodani orqli o‘zgaruvchi deb ko‘rib, differensiallasak,

ga ega bo‘lamiz. Endi (4. 14) ni differensiallab ixtiyoriy songa ko‘paytiramiz, so‘ngra uni (4. 19) ga qo‘shib nolga tenglaymiz, ya’ni

Bundan ko‘rinadiki, Fermi energiyasi qattiq jimlardagi erkin elektronlarning konsentratsiyasiga bog‘liq bo‘lar ekan.
Temperatura absolyut noldan farqli bo‘lganda, elektronlar dan yuqorigi energetik xolatlarda ham bo‘la oladilar. Chunki ular issiqlik energiyasi xisobiga past energetik xolatdan yuqori energetik xolatlardan biriga ko‘tarila oladi. Bunday xollarda elektronning Fermi energetik satxida bo‘lish extimoli 1/2 ga teng, undan yuqori energetik xolatlarda bo‘lish extimoli esa noldan farqlidir. berilgan energetik xolatda elektronning turish extimolini ifodalagani sababli

shu energetik xolatning elektrondan xoli bulish exti­molini beradi. (4.20) dan foydalansak, ( uchun quyidagi ifodani olamiz:
(4. 22)
Bu funksiya energiyasi bo‘lgan energetik xolatda teshiklarning bo‘lish extimolini «ko‘rsatadi. Yarim o‘tkazgichlardagi xarakatchan teshiklar ana shu taqsimot funksiyasiga bo‘ysunadilar.
Endi ba’zi xususiy xollarni ko‘rib chiqaylik. bo‘lsin. U xolda

deb xisoblash mumkin. Natijada Fermi — Dirak taqsimoti (4.20)
(4 23)
ko‘rinishni qabul qiladi. (4. 22) tengsizlik bajarilsa, teshiklar uchun Fermi — Dirak taqsimot funksiyasi
(4. 24)
formula orqali ifodalanadi. (4.23) va (4.24) formulalarni (4.6) bilan solishtirsak, Maksvell — Bolsman bundan ning indeksini tashlab yuborsak,

Bu funksiya Fermi—Dirak taksimot funksiyasi deb yuritiladi. Bu funksiyaning grafigi 26-rasmda kursatilgan. Fermi — Dirak taqsimoti qattiq jismlardagi elektronlarnnng energiyasi bo‘yicha qanday taqsimlanishini ko‘rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, bu taqsimot funkiiya berilgan elektronning energiyasi bo‘lgan xolatda turish extimolini beradi.
Endi Fermi—Dirak tak­simot funksiyasidagi noma’lum son ni aniklaylik.
Fermi — Dirak taksimoti funksiyasi absolyut nol temperaturada nol yoki bir qiymatlardan birini qabul qiladi. Nol yoki birga teng bo‘lishligi z va larga bog‘liqdir. xaqiqatan bo‘lsa ikkalasi xam musbat, da esa bo‘ladi.
Bundan ko‘rinadiki, absolyut nol temperatura;,a r. energetik xolatdan yukoridagi energetik xolatlarda elektronlar bulmay, past energetik xolatlar esa elektronlar bilan band bo‘lar ekan. Demak, qattiq jismlardagi elektronlar uchun chegaraviy energiyani ifodalar ekan. Kvant mexanikasida ni Fermi energiyasi, unga mos kelgan energetik satxni esa Fermi energetik satxi deb yuritiladi. {4. 10) ga asosan ga teng bo‘ladi, ya’ni

yoki (4.21)
Bundan ko‘rinadiki, Fermi energiyasi qattiq jismlardagi erkin elektronlarning konsentratsiyasiga bog‘lik bo‘lar ekan.
Temperatura absolyut noldan farqli bo‘lganda, elektronlar dan yuqorigi energetik xolatlarda ham bo‘la oladilar. Chunki ular issiklik energiyasi xisobiga past energetik xolatdan yuqori energetik xolatlardan biriga ko‘tarila oladi. Bunday xollarda elektronning Fermi energetik satxida bo‘lish extimoli 1/2 ga teng, undan yuqori energetik xolatlarda bo‘lish extimoli esa noldan farqlidir. berilgan energetik xolatda elektronning turish extimolini ifodalagani sababli

shu energetik xolatning elektrondan xoli bo‘lish exti­molini beradi. (4.20) dan foydalansak, ( uchun quyidagi ifodani olamiz:
(4. 22)
Bu funksiya energiyasi bo‘lgan energetik xolatda teshiklarning bo‘lish extimolini «ko‘rsatadi. Yarim o‘tkazgichlardagi xarakatchan teshiklar ana shu taqsimot funksiyasiga bo‘ysunadilar.
Endi ba’zi xususiy xollarni ko‘rib chiqaylik. bo‘lsin. U xolda

deb xisoblash mumkin. Natijada Fermi — Dirak taqsimoti (4.20)
(4 23)
ko‘rinishni qabul qiladi. (4. 22) tengsizlik bajarilsa, teshiklar uchun Fermi — Dirak taqsimot funksiyasi
(4. 24)
formula orkali ifodalanadi. (4.23) va (4.24) formulalarni (4.6) bilan solishtirsak, Maksvell — Bolsman taqsimoti Fermi — Dirak taqsimotining xususiy'
xoli ekanligini ko‘ramiz.
Yarimo’tkazgichlarda elektronlar va teshiklar konsentratsiyasi dan kam bo‘lsa, Maksvell Bolsman taqsimot funksiyasiga bo‘ysunadi. Bunda elektronlar aynimagan xolatda bo‘lib, ularning konsentratsiyasi temperaturaga kuchli bog‘langan bo‘ladi. Elektronlarning o‘rtacha energiyasi temperatura ortishi bilan ortib boradi.
Yarim o‘tkazgichlardagi elektronlarning konsentratsiyasi dan ortib ketsa, Fermi — Dirak taqsimotini qullash zarur. Qattiq jismlardagi elektronlar aynigan xolatda bo‘lsa, ularning konsentratsisi tem­peraturaga juda, bo‘sh bog‘langan bo‘lib, temperatura ta’sirini xisobga olmasa ham bo‘ladi. Xaqiqatan ham, metallarda elektronlar konsentratsiyasi temperaturaga bog‘liq emas. Yuqori chegirlangan yarim o‘tkazgichlarda xam shu xodisa kuzatiladi.