Элементы теории множеств

А = {июнь, май, февраль, август, октябрь, январь, апрель, декабрь}; B = {зима, весна, лето, осень}; G = {(a, b) aA, bB; a  месяц времени года b}.
Решение. Для удобства элементы множества А обозначим числами: A = {6, 5, 2, 8, 10, 1, 4, 12}, a элементы множества В буквами: B = {z, w, l, o}. Это позволит нам в дальнейшем отвлечься от конкретного смысла элементов множеств и получить соответствие в формализованном виде.
Задание перечислением: G = {(6,l), (5,w), (2,z), (8,l), (10,o), (1,z), (4,w), (12,z)}. Это позволит нам в дальнейшем отвлечься от конкретного смысла элементов множеств и получить соответствие в формализованном виде.
Задание матричным способом:

Соответствие G состоит из восьми упорядоченных пар. Поэтому матрица С имеет 8 единиц, соответствующих этим парам. Остальные элементы матрицы нули, поскольку соответствующих пар в G нет.
Задание табличным способом:

Полученная таблица напоминает привычный график, например, функции y = f(x), построение которого изучалось в курсе высшей математики. Здесь на оси абсцисс откладываются элементы первого множества (первая проекция соответствия), а на оси ординат – второго множества (вторая проекция).
Задание графическим способом.

Задание с помощью сечений. Сечения лучше всего определять по графику соответствия. Запишем матрицу, где первая строка– это элементы множества А, а вторая строка - соответствующие сечения по каждому элементу множества А:

Фактор-множество по соответствию G записано во второй строке: F/G = {{z},{w},{l},{o}}.


Задача 4.5.2. Бинарное соответствие на множествах А = {a, b, c}; B = {1,2,3,4,5,6,7} задано перечислением: G = {(a,2), (b,3), (a,4), (a,6), (b,6)}. Рассмотреть иные способы задания этого соответствия.


Задание матричным способом:

Задание табличным способом: Задание графическим способом:

Задание с помощью сечений. .
Фактор-множество F/G = {{2,4,6},{3,6},{}}.


Задачи для самостоятельного решения.
1. Задать бинарное соответствие на множествах всеми возможными способами. А = {Т.Шевченко, А.Пушкин, Л.Украинка, Л.Толстой, У.Шекспир};
B = {«Анна Каренина», «Евгений Онегин», «Му-Му», «Сон», «Война и мир», «Гайдамаки», «Руслан и Людмила», «Заповіт», «Лісова пісня», «Каштанка»}.
G = {(a, b) aA, bB, a − автор b}.
2. На множествах A = {0,1,2,3,4} и B = {5,6,7,8,9} заданы соответствия:
G1 = {(1,5), (1,6), (2,6), (3,9), (4,9)};
G2 = {(0,6), (1,6), (2,7), (3,7), )4,9)};
G3 = {(0,6), (1,7), (2,5), (3,9), (4,8)}.
Задать соответствия всеми возможными способами.

4.6. ТИПЫ (СВОЙСТВА) БИНАРНЫХ СООТВЕТСТВИЙ

Пусть задано некоторое соответствие G  АВ = {(a, b)aA, bB, (a, b)G}.
Соответствие называется всюду определённым (или полностью определённым), если его область определения совпадает со всем множеством А: Dom(G) = А. Иными словами каждый элемент множества А участвует в парах (а,b)G, и при этом для каждого аА найдётся хотя бы один образ из множества В. Сечение по всякому элементу аА не будет пустым.
В противном случае соответствие называют частично определённым (или просто частичным).
Соответствие G называется сюръективным, если его множество значений совпадает со всем множеством B : Im(G) = B. Иными словами, каждый элемент bB участвует в парах (а,b)G, как минимум, один раз. То есть для каждого элемента bB найдется хотя бы один прообраз из множества А. Говорят, что при сюръективном соответствии покрывается всё множество В.

Соответствие G называется функциональным (или однозначным), если каждому элементу множества А соответствует не более одного элемента из множества В. Пары (a, b) такого соответствия не содержат одинаковых первых координат и различных вторых. Каждый элемент аА имеет не более одного образа bB.
Среди функциональных также различают полностью определённые и частично определенные соответствия, равно как и сюръективные и не сюръективные.

Рис. 4.11