Элементы теории множеств

4. БУЛЕВЫ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 34
4.1. МОЩНОСТЬ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА 34
4.2. БУЛЕАН МНОЖЕСТВА. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА 39
4.3. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ПОНЯТИЕ УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА 41
4.4. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ. ОБРАЗ И ПРОООБРАЗ. БИНАРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ 44
4.5. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ БИНАРНЫХ СООТВЕТСТВИЙ 47
4.6. ТИПЫ (СВОЙСТВА) БИНАРНЫХ СООТВЕТСТВИЙ 51
4.7. ОБРАТНОЕ СООТВЕТСТВИЕ 55
4.8. ФУНКЦИЯ 56
4.9. ОТНОШЕНИЕ НА МНОЖЕСТВЕ 61
4.10. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ (СВОЙСТВА) БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ 63
4.11. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ 67
ЛИТЕРАТУРА 71

1. МНОЖЕСТВА

1.1. МНОЖЕСТВО И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения (так же, как, например, нельзя определить, что такое точка или прямая).
Теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты он назвал элементами множества. Т.е. элемент множества – это объект, принадлежащий данному множеству.
Бертран Рассел (также основоположник теории множеств) дал такое определение множества: «Множество есть любое собрание определённых и различимых между собою объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое».
Под множеством понимается класс, совокупность, собрание различных между собой абстрактных объектов (элементов), безразлично какой природы. Каждый составляющий его элемент рассматривается лишь с точки зрения некоторых признаков. Эти объекты считаются неразличимыми. Им приписываются одни и те же признаки, отличие их друг от друга определяется не по свойствам и отношениям, а по их именам.
Множества обозначаются большими латинскими буквами (например, А, В, Х, Y и т.д.), а элементы этих множеств – малыми буквами (например, a, b, x, y).
Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным, если в нём бесконечно много элементов – бесконечным.
Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и её применимость в самых различных областях – математике, механике, физике, химии, биологии, лингвистике и т.д.
Знаком  обозначается отношение принадлежности некоторого элемента тому или иному множеству. Например, выражение означает, что элемент а принадлежит множеству А. Если же а не является элементом множества А, то это записывается .

Если два множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Если А и В равны, то пишем А=В, в противном случае — . Например, возьмём множество {1,3,5}, состоящее из трёх положительных нечётных чисел. Поскольку {1,3,5} и{1,5,3} состоят из одних и тех же элементов, они являются равными множествами, т.е. {1,3,5}={1,5,3}. По этой же причине {1,3,5}={1,3,3,5,5,5}.

Элементы какого либо множества сами могут быть множествами. Например, {{1,2},{3,4},{5,6}} – множество из трёх элементов {1,2},{3,4},{5,6}.
Множества {{1,2},{2,3}} и {1,2,3} не равны, т.к. элементами первого являются {1,2} и {2,3}, а элементами второго — 1,2 и 3.
Множества {{1,2}} и {1,2} также не равны, т.к. поскольку первое множество состоит из одного и только одного элемента {1,2} (одноэлементное множество), а второе имеет два элемента 1 и 2. Потому, в общем виде, следует различать объект и множество, единственным элементом которого является этот объект.
Задача 1.1. Среди следующих множеств указать равные: