Evklidning “Negizlar” asarida keltirilgan postulat va aksiomalari. Postulatlar

Gilbertning geometriya rivojiga qo’shgan hissasi. Yevklid geometriyasining aksiomalar sistemasini tuzishda nemis olimi D.Gilbert o’zining munosib hissasini qo’shgan.
Gilbert birinchi bo’lib (1899 yilda) Yevklid geometriyasi aksiomalarini beshta guruhga bo’lib, agar arifmetika aksiomalari zidsiz bo’lsa, bu aksiomalar sistemasi zidsiz, degan tasdiqni isbotlaydi.


Gilbert aksiomalari guruhi. Gilbert aksiomalari beshta guruhdan: tegishlilik aksiomalari, tartib aksiomalari, konguruentlik aksiomalari, parallellik aksiomasi va uzluksizlik aksiomalaridan iborat.
1-aksioma. Ixtiyoriy va nuqtalar uchun, shunday to’g’ri chiziq mavjud bo’lib, bu nuqtalarning har biri bu to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lsin.
2-aksioma. Ixtiyoriy va nuqtalar uchun ko’pi bilan bitta to’g’ri chiziq mavjud bo’lib, bu to’g’ri chiziqqa va nuqtalarning har biri tegishli.
3-aksioma. To’g’ri chiziqda kamida ikkita nuqta mavjud. Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan hech bo’lmaganda uchta nuqta mavjud.
4-aksioma. Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan chiziqda yotmaydigan uchta , , nuqtalar uchun, bu nuqtalarning har biri tegishli bo’lgan tekislik mavjud. Ixtiyoriy tekislik uchun unga tegishli nuqta mavjud.
5-aksioma. Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan ixtiyoriy , , nuqtalar uchun, bu nuqtalarning har biridan oi’tuvchi ko’pi bilan bitta tekislik mavjud.


Uzluksizlik aksiomalari
V₁-aksioma (Arximed aksiomasi). Bizga va kesmalar berilgan bo’lsin. U holda kesmaga teng bo’lgan kesmalarda shunday chekli sondagi nuqtalar ketma-ketligi mavjud bo’lib, nuqta va orasida yotadi.
V₂-aksioma (chiziqli to’liqlik aksiomasi). To’g’ri chiziq nuqtalarini, chiziqli tartib, hamda birinchi kongruentlik aksiomasi va Arximed aksiomasi o’rinli bo’lgan holda, hech qanday kengaytirish mumkin emas, ya’ni bu nuqtalar sistemasiga boshqa nuqtalar qo’shib, yuqoridagi aksiomalarning qanoatlantiruvchi yangi nuqtalar sistemasini hosil qilish mumkin emas.

8-mavzu. Uchburchak o’xshashligi. Teorema (Fales teoremasi). Burchak tomonlarini kesuvchi parallel to’g’ri chiziqlar uning bir tomonidan teng kesmalar ajratsa, ikkinchi tomonidan ham teng kesmalar ajratadi. Teorema. Bizga juft - jufti bilan kesishuvchi to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. to’g’ri chiziqning ixtiyoriy X nuqtasidan c to’g’ri chiziqqa parallel C_x to’g’ri chiziq o’tkazamiz. C_x to’g’ri chiziq to’g’ri chiziqni Y nuqtada kesib o’tadi. Shu usul bilan o’rnatilgan moslik yordamida mos kelgan to’g’ri chiziqlarning kesmalari proporsional bo’ladi.