Farg‘ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti matematika yo‘nalishi guruh talabasi ning “Analitik geometriya” fanidan «Evklidga qadar bo‘lgan geometriya. Evklidning “Negizlar” asari»

Evklid postulati
Evklid geometriyaning bizgacha etib kelgan birinchi qat’iy mantiqiy konstruktsiyasining muallifidir. Uning ekspozitsiyasi o‘z davri uchun shunchalik mukammalki, uning “Asosiylar” asari paydo bo‘lgandan boshlab ikki ming yil davomida u geometriya talabalari uchun yagona qo‘llanma bo‘lib kelgan.
“Boshlanishlar” geometrik taqdimotda geometriya va arifmetikaga bag‘ishlangan 13 ta kitobdan iborat. Elementlarning har bir kitobi birinchi marta duch kelgan tushunchalarning ta’rifi bilan boshlanadi. Shunday qilib, masalan, birinchi kitobga 23 ta ta’rif qo‘yilgan.
Ta'rif 1. Nuqta - qismlari bo‘lmagan narsa.
Ta'rif 2. Chiziq - ensiz uzunlik
Ta'rif 3. Chiziq chegaralari nuqtadir.
Ta’riflardan so‘ng Evklid postulatlar va aksiomalarni, ya’ni isbotsiz qabul qilingan bayonotlarni beradi.
Postulatlar
I. Har bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkinligi talab qilinadi.
II. Va shuning uchun har bir to‘g‘ri chiziq cheksiz davom ettirilishi mumkin.
III. Va har qanday markazdan istalgan radiusli doirani tasvirlash mumkin edi.
IV. Va barcha to‘g‘ri burchaklar teng bo‘lishi uchun.
V. Va har doim chiziq boshqa ikkita chiziq bilan kesishsa, ular bilan bir tomonlama ichki burchaklar hosil qiladi, ularning yig‘indisi ikki chiziqdan kichik bo‘lsa, bu chiziqlar bu yig‘indi ikkita chiziqdan kichik bo‘lgan tomondan kesishadi. To‘g‘ri chiziqni fikran ikkala tomonga cheksiz davom ettirish mumkin. Geometriyada “to‘g‘ri chiziq” deb odatda hech qaysi tomonidan cheklanmagan to‘g‘ri chiziq tushuniladi. Bir tomonidan cheklangan bo‘lib, ikkinchi tomonidan cheklanmagan to‘g‘ri chiziq, yarim to‘g‘ri chiziq yoki nur deb ataladi. Ikkala tomonidan cheklangan to‘g‘ri chiziq kesma deb ataladi. Evklidning “Negizlar” kitobida avvalgi sakkizta ta’rif quyidagicha ifodalangan:
Ta’rif I. Nuqta shudirki, u bo‘laklarga ega emas. Ta’rif II. Chiziq ensiz uzunlikdir. Ta’rif III. Chiziqning chegaralari nuqtalar deb ataladi. Ta’rif IV. To‘g‘ri chiziq deb shunday chiziqqa ataladiki, u o‘zining hamma nuqtalariga nisbatan bir xil joylashgandir. Ta’rif V. Sirt shudirki, u uzunlik va enga egadir. Ta’rif VI. Sirtning chegaralari chiziqlardir. Ta’rif VII. Tekislik shunday sirtki, u o‘zidagi hamma to‘g‘ri chiziqlarga nisbatan bir xil joylashadi. Ta’rif VIII. Tekis burchak deb bir-biri bilan kesishgan va bir tekislikda joylashgan, lekin bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan ikki chiziqning bir-biriga qiyaligini aytiladi. Bu ta’riflardan keyin, postulatlar va aksiomalar keltiriladi.
Postulatlar:
I. Har bir nuqtadan istalgan ikkinchi nuqtaga to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin bo‘lishni talab qilish kerak.
II. Chegaralangan har bir to‘g‘ri chiziqni istalgancha davom ettirish mumkin bo‘lsin.
III. Istalgan markazdan har qanday radius bilan aylana chizish mumkin bo‘lsin.
IV. Hamma to‘g‘ri burchaklar o‘zaro teng bo‘lsin.
V. Bir to‘g‘ri chiziq ikki to‘g‘ri chiziq bilan kesishib, ular bilan yig‘indisi 2d dan kichik bo‘lgan ichki bir tomonli burchaklar tashkil qilsa, ularni 22 bu yig‘indi 2d dan kichik tomonga qarab davom qildirganda, ular shu tomonda kesishadigan bo‘lsin. Bu oxirgi postulat parallellar haqidagi Evklidning mashhur postulatidir. Undan foydalanib, biror to‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqtadan shu to‘g‘ri chiziqqa faqat bitta parallel o‘tkazish mumkinligini isbotlash mumkin; bu isbotni Evklidning o‘ziyoq bergan edi.
Aksiomalar:
I. Uchinchi miqdorga teng bo‘lgan miqdorlar, o‘zaro tengdir. II. Agar teng miqdorlarga baravardan qo‘shilsa, ularning yig‘indilari ham teng bo‘ladi. III. Agar teng miqdorlardan baravardan ayrilsa, qoldiqlar ham teng bo‘ladi. IV. Agar teng bo‘lmagan miqdorlarga baravardan qo‘shilsa, ularning yig‘indilari ham teng bo‘lmaydi. V. Teng miqdorlarni ikkilatsak ham ular teng bo‘ladi. VI. Teng miqdorlarning yarimlari ham tengdir. VII. Bir-biriga joylashuvchi (miqdorlar, figuralar) o‘zaro tengdir. VIII. Butun o‘zining bo‘lagidan kattadir. IX. Ikki to‘g‘ri chiziq fazoni chegaralay olmaydi.
Evklid aksiomalari uning postulatlariga qaraganda kengroq xarakterga egadir. Aksiomalarda umuman miqdorlarning xossalari tavsiflanib, geometrik miqdorlar xususiy holni tashkil qiladi. Umuman aytganda aksioma va postulat bir xil tushunchalar. Evklid postulatni geometrik yasash mumkinligi haqida tasdiq deb qaragan. V postulat (Evklidning)ning ifodalanishi murakkabligi ahamiyat berib uni teorema sifatida keltirib chiqarishga harakat qilganlar. Lagranj (1736-1831), Lejandr (1752- 23 1833), Italiyalik J.Sakkeri (167-1733), fransuz I.G.Lambert (1728-1777) bir necha marta u postulatni isbotlashga urinib koʻrganlar. V postulatni ba’zilar quyidagicha tasdiqlagan. Pleyfer tasdig‘i (ingliz matematigi XVIII asr). Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziq kesmaydigan bitta to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin. Geometriyani (va har qanday matematik nazariyani) aksiomalar asosida qurish ishi, birinchidan, asosiy obyektlar kategoriyasini, ikkinchidan, bu obyektlar orasadagi asosiy munosabatlarni, uchinchidan, aksiomalarni ko‘rsatishdan boshlanishi kerak. Geometriyada qaraladigan undan keyingi hamma obyektlar va ular orasidagi munosabatlar asosiy obyektlar orqali ta’riflanishi kerak, va barcha teoremalarni aksiomalarga suyanib isbotlash kerak.
Aksiomalar
I. Alohida uchdan biriga teng bir-biriga teng. II. Va agar biz ularga tenglarni qo‘shsak, biz teng bo‘lamiz. III. Va agar biz tengdan tengni ayirsa, biz tenglikni olamiz. IV. Va agar biz teng bo‘lmaganlarga tenglarni qo‘shsak, biz tengsizlarni olamiz. V. Agar biz ikki barobarga teng bo‘lsak, biz teng bo‘lamiz. VI. Va yarmi teng. VII. Va ular teng. VIII. Va butun qismdan kattaroqdir. IX. Va ikkita to‘g‘ri chiziq bo‘shliqlarni o‘rab olmaydi. Ba’zan IV va V postulatlar aksioma deb ataladi. Shuning uchun beshinchi postulat ba’zan XI aksioma deb ataladi. Qaysi printsipga ko‘ra, ba’zi bayonotlar postulatlarga, boshqalari esa aksiomalarga bog‘liqligi noma’lum. Beshinchi postulatga kelsak, Evklid postulatlarining haqiqatiga hech kim shubha qilmagan. Ayni paytda, antik davrdan boshlab, aynan parallellar postulati bir qator geometrik olimlarning alohida e’tiborini tortdi, ular uni postulatlar qatoriga qo‘yishni g‘ayritabiiy deb hisoblashdi. Bu, ehtimol, V postulatning nisbatan kamroq ravshanligi bilan bog‘liq edi: bilvosita, u tekislikning istalgan, o‘zboshimchalik bilan uzoq qismlariga erishish mumkinligini taxmin qiladi, faqat to‘g‘ri chiziqlar cheksiz ravishda uzaytirilganda topiladigan xususiyatni ifodalaydi. Evklid postulatlaridan ko‘rinib turibdiki, Evklid fazoni bo‘sh, cheksiz, izotrop va uch o‘lchovli sifatida ifodalagan. Fazoning cheksizligi va cheksizligi Evklidning har qanday nuqtadan istalgan nuqtaga to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkinligi, cheklangan to‘g‘ri chiziqni to‘g‘ri chiziq bo‘ylab uzluksiz cho‘zilishi mumkinligi, aylana tasvirlanishi haqidagi tezislari kabi postulatlari bilan qabul qilinadi. Har qanday markazdan va kompasning istalgan yechimidan. Evklidning beshinchi postulati ayniqsa mashhur bo‘lib, u tom ma’noda shunday eshitiladi (biz yuqorida izoh berdik): Agar ikkita chiziqqa tushadigan chiziq ichki va bir tomonda ikkita chiziqdan kichikroq burchaklarni hosil qilsa, u holda cheksiz cho‘zilgan bu ikki chiziq uchrashadi. Burchaklar ikkita to‘g‘ri burchakdan kichik bo‘lgan tomonda. Keyinchalik Prokl bu postulatni quyidagicha ifodalagan: “Agar chiziq ikkita parallel chiziqdan birini kesib o‘tsa, u holda u ikkinchi parallelni ham kesib o‘tadi”. Biz uchun ko‘proq tanish formula: “Ma’lum bir nuqta orqali siz berilgan chiziqqa faqat bitta parallel chizishingiz mumkin” - Jon Playfairga tegishli. Evklidning beshinchi postulatini isbotlashga bir necha bor urinishlar qilingan (Ptolemey, Nosir al-Din, Lambert, Legendre). Nihoyat, 1816 yilda Karl Gauss bu postulat boshqasi bilan almashtirilishi mumkinligini taxmin qildi. Bu taxmin N. I. Lobachevskiy (1792-1856) va Yanos Bolya (1802-1866) tomonidan mustaqil ravishda parallel tadqiqotlarda amalga oshirilgan. Biroq, bu tadqiqotchilarning ikkalasi ham (ham rus, ham venger) boshqa matematiklardan, ayniqsa fazoni tushunishda Kant apriorizmi pozitsiyalarida turganlar tomonidan tan olinmadi, bu faqat bitta bo‘shliqqa - Evklidga ruxsat berdi. Faqat Bernhard Rimann (1826-1866) o‘zining ko‘p qirrali nazariyasi (1854) bilan Evklid bo‘lmagan geometriyaning ko‘p turlari mavjudligini isbotladi. B. Rimanning o‘zi Evklidning beshinchi postulatini postulat bilan almashtirgan, unga ko‘ra parallel chiziqlar umuman yo‘q, uchburchakning ichki burchaklari esa ikkita to‘g‘ri chiziqdan ko‘p. Feliks Klein (1849-1925) Evklid bo‘lmagan va Evklid geometriyalari o‘rtasidagi munosabatni ko‘rsatdi. Evklid geometriyasi nol egrilikli sirtlarga, Lobachevskiy geometriyasi musbat egrilikka, Riman geometriyasiga manfiy egrilikka ega sirtlarga aytiladi. Qadimgi yunon mutafakkiri Evklid Iskandariya maktabining birinchi matematigi va eng qadimiy nazariy matematika risolalaridan birining muallifiga aylandi. Bu olimning tarjimai holi haqida uning asarlaridan ko‘ra kamroq narsa ma’lum. Shunday qilib, Evklid mashhur «Boshlanishlar» asarida streonometriya, planametriya, sonlar nazariyasining jihatlarini belgilab berdi va matematikaning keyingi rivojlanishi uchun asos yaratdi.