10-mavzu: Yuqori tartibli hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Dars rejasi

3⁰. Murakkab funksiyaning hosilasi. ([1], Theorem 10.1.15, 256-bet) Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada hosilaga, nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lib,

bo‘ladi.
◄ funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo‘lganligidan

bo‘lishi kelib chiqadi, bunda
va da .
Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga bo‘lib topamiz:
.
Bundan da limitga o‘tib,

tenglikka kelamiz. ►
Differensiallash qoidalari quyidagi ko'rinishda bo'ladi.


.²
Yuqori tartibli differensiallar
, tenglikda -erkli o'zgaruvchining orttirmasini o'zgarmas deb qarasak, funksiya differensiali ning funksiyasi ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun funksiya differensialini topish masalasini ko'rishimiz mumkin. Bu differensial funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb atalib, shaklda belgilanadi, ya'ni
.
Xuddi shunga o'xshash
yoki
tengliklarni hosil qilamiz.
Ko'paytmaning yuqori tartibli differensiali uchun, Leybnits formulasini e'tiborga olib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz
, bu erda deb olingan.
Matematika tadbiqida asosan taqribiy hisoblashlar qo‘llaniladi. Taqribiy hisoblashlarning muhim manbai funksiya differensiali hisoblanadi.
1-teorema. nuqtaning biron-bir atrofida berilgan funksiya shu nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda nuqtada funksiyaning differensiali mavjud bo‘lib, bu differensial uchun

tenglik o‘rinli.
Shunday qilib, nuqtada differensiallnuvchi funksiya orttirmasi
(3)
Taqribiy hisoblashlarni funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirish orqali bajarish mumkin, ya'ni (3) tenglikda ni tashlab yuborsak quyidagi taqribiy

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda yo‘l qo‘yilgan xatolik ko‘rinishda bo‘lib, kichik bo‘lgani sari bu xatolik ga nisbatan tezroq kichiklashib boradi.
Agar funksiya intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, funksiya intervalda differensiallanuvchi deyiladi.
Endi misollar qaraymiz. funksiya da differensiallanuvchi bo‘lib, (2) tenglikga ko’ra

o‘rinli bo‘ladi, ya'ni erkli o‘zgaruvchi uchun, uning differensiali va orttirmasi teng bo‘lar ekan.
Bu tenglikdan funksiya differensiali uchun
yoki (4)
tenglikni yoza olamiz. Demak,
.